GCF & LCM Calculator

القاسم المشترك الأكبر (ق م أ) — ويُسمى أيضاً أكبر قاسم مشترك أو العامل المشترك الأكبر — هو أكبر عدد يقسم جميع الأعداد المعطاة قسمةً تامة دون باقٍ. مثال: لإيجاد ق م أ (12، 18)، عوامل 12 هي 1، 2، 3، 4، 6، 12؛ وعوامل 18 هي 1، 2، 3، 6، 9، 18؛ العوامل المشتركة هي 1، 2، 3، 6؛ والأكبر بينها هو 6. إذن ق م أ (12، 18) = 6. يُستخدم ق م أ لتبسيط الكسور إلى أدنى صورة — يُقسم كلٌّ من البسط والمقام على ق م أ الخاص بهما.

المضاعف المشترك الأصغر (م م أ) هو أصغر عدد تقسمه جميع الأعداد المعطاة قسمةً تامة. مثال: لإيجاد م م أ (4، 6)، مضاعفات 4 هي 4، 8، 12، 16، 20، 24…؛ ومضاعفات 6 هي 6، 12، 18، 24…؛ المضاعفات المشتركة هي 12، 24، 36…؛ والأصغر هو 12. إذن م م أ (4، 6) = 12. يُستخدم م م أ لإيجاد المقام المشترك عند جمع الكسور أو طرحها — إذ يصبح المقام الجديد هو م م أ للمقامات الأصلية.

تجد خوارزمية إقليدس ق م أ (أ، ب) بالقسمة المتكررة: ق م أ (48، 18) → 48 ÷ 18 = 2 والباقي 12 → ق م أ (18، 12): 18 ÷ 12 = 1 والباقي 6 → ق م أ (12، 6): 12 ÷ 6 = 2 والباقي 0 → ق م أ = 6. تتوقف الخوارزمية حين يصبح الباقي 0؛ وآخر باقٍ غير صفري هو القاسم المشترك الأكبر. هذا الأسلوب أسرع بكثير من حصر جميع العوامل للأعداد الكبيرة، وهو الخوارزمية التي تعتمدها هذه الحاسبة. وصفها إقليدس نحو عام 300 قبل الميلاد وهي لا تزال من أكفأ الخوارزميات في الرياضيات حتى اليوم.

حلِّل كل عدد إلى عواملٍ أولية، ثم خذ أعلى أس لكل عامل أولي يظهر في أي من التحليلات، واضرب هذه الأسس ببعضها. م م أ (12، 18): 12 = 2² × 3، 18 = 2 × 3². خذ 2² و3²: م م أ = 4 × 9 = 36. بالمقابل، يستخدم ق م أ أدنى أسٍّ لكل عامل أولي مشترك. تنطبق العلاقة: ق م أ × م م أ = أ × ب على أي عددين — فإذا عرفت ق م أ يمكنك إيجاد م م أ بالصيغة: م م أ (أ، ب) = (أ × ب) ÷ ق م أ (أ، ب).

لأي عددين صحيحين موجبين أ وب: ق م أ (أ، ب) × م م أ (أ، ب) = أ × ب. مثال: ق م أ (12، 18) = 6، م م أ (12، 18) = 36، و6 × 36 = 216 = 12 × 18. هذه العلاقة مفيدة جداً: إذا حسبت إحدى القيمتين يمكنك إيجاد الأخرى دون الحاجة إلى إعادة التحليل الكامل. كما تثبت هذه العلاقة أنه إذا كان ق م أ (أ، ب) = 1 (أي أن العددين متباينَا الأولية)، فإن م م أ (أ، ب) = أ × ب.

طبِّق العملية بصورة متتالية: ق م أ (أ، ب، ج) = ق م أ (ق م أ (أ، ب)، ج). م م أ (أ، ب، ج) = م م أ (م م أ (أ، ب)، ج). مثال على ق م أ (12، 18، 24): ق م أ (12، 18) = 6، ثم ق م أ (6، 24) = 6. مثال على م م أ (4، 6، 8): م م أ (4، 6) = 12، ثم م م أ (12، 8) = 24. تتعامل هذه الأداة مع حتى 10 أعداد في آنٍ واحد بتسلسل العملية تلقائياً — فقط اضغط على "+ إضافة عدد" لإضافة حقول جديدة. يدعم Wolfram Alpha أيضاً ق م أ وم م أ لأعداد متعددة لكنه يتطلب التنقل عبر واجهة بحثه؛ أما Mathway فيشترط حساباً مدفوعاً لعرض الخطوات لأكثر من عددين.

لتبسيط كسرٍ ما إلى أدنى صورة، اقسم كلاً من البسط والمقام على قاسمهما المشترك الأكبر. مثال: تبسيط 24/36. ق م أ (24، 36) = 12. 24 ÷ 12 = 2، 36 ÷ 12 = 3. الكسر المبسط هو 2/3. يكون الكسر في أدنى صورته (مبسطاً تماماً) حين يكون ق م أ (البسط، المقام) = 1، أي حين لا يجمع البسطَ والمقامَ عاملٌ مشترك سوى 1.

لجمع كسور ذات مقامات مختلفة، حوِّل كلاً منها إلى كسر مكافئ بمقامٍ مشترك هو م م أ المقامات الأصلية. مثال: 1/4 + 1/6. م م أ (4، 6) = 12. التحويل: 1/4 = 3/12، 1/6 = 2/12. المجموع = 3/12 + 2/12 = 5/12. يُبقي استخدام م م أ (بدلاً من حاصل ضرب المقامين) الأعدادَ صغيرةً قدر الإمكان ويُغني عن الحاجة إلى تبسيط النتيجة لاحقاً.

ق م أ (القاسم المشترك الأكبر) وGCF (Greatest Common Factor) وGCD (Greatest Common Divisor) جميعها مصطلحات لمفهوم رياضي واحد. العامل والقاسم مترادفان هنا: كلاهما يشير إلى عددٍ يقسم عدداً آخر دون باقٍ. تستخدم بعض المناهج مصطلح GCF (شائع في التعليم الأمريكي K-12)، وبعضها GCD (شائع في الرياضيات العليا وعلوم الحاسوب)، وبعضها HCF (Highest Common Factor، شائع في المناهج البريطانية). جميعها تُعطي النتيجة ذاتها.

نعم. تُشغِّل حقول الإدخال لوحة المفاتيح الرقمية تلقائياً على الهاتف المحمول دون الحاجة إلى تبديل وضع لوحة المفاتيح يدوياً. أضف حتى 10 أعداد وسيُحسب ق م أ وم م أ فوراً مع عرض خطوات الحل. تعمل الأداة في Safari على آيفون، وChrome على أندرويد، وFirefox، وجميع المتصفحات المحمولة الحديثة. لا يلزم تثبيت تطبيق أو إنشاء حساب أو رفع أي ملف. تعمل الصفحة أيضاً بدون اتصال بالإنترنت بمجرد تحميلها — مفيد إذا كنت تدرس في مكانٍ ذي اتصال غير مستقر.