Quadratic Equation Solver

يُعطي قانون المعادلة التربيعية الجذرين لأي معادلة من الشكل ax² + bx + c = 0 (حيث a ≠ 0): x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). يعني رمز ± أنك تحسب كلاً من x₁ = (−b + √(b² − 4ac)) / (2a) وx₂ = (−b − √(b² − 4ac)) / (2a). يصلح هذا القانون دائماً بصرف النظر عن كون الجذور أعداداً صحيحة حقيقية أو أعداداً لاعقلانية أو أعداداً مركبة — مما يجعله الطريقة الأكثر عمومية لحل المعادلات التربيعية.

المميز هو Δ = b² − 4ac، وهو التعبير تحت الجذر التربيعي. إذا كان Δ > 0 فثمة جذران حقيقيان مختلفان ويقطع القطع المكافئ محور السينيات مرتين. إذا كان Δ = 0 فثمة جذر حقيقي مكرر واحد فقط — يلامس القطع المكافئ محور السينيات عند رأسه. إذا كان Δ < 0 فالجذران مركبان مترافقان ولا يقطع القطع المكافئ محور السينيات أبداً. معرفة إشارة المميز تُخبرك بكل شيء عن طبيعة الحلول قبل إتمام الحساب — وهي أول ما ينبغي التحقق منه.

الخطوة 1: أعد الترتيب ليساوي أحد الطرفين صفراً: ax² + bx + c = 0. الخطوة 2: حدد قيم a وb وc. الخطوة 3: احسب المميز Δ = b² − 4ac. الخطوة 4: إذا كان Δ ≥ 0، طبّق x = (−b ± √Δ) / (2a) لإيجاد جذرين حقيقيين. إذا كان Δ < 0، اكتب √Δ = i√|Δ| وعبّر عن الجذرين كـ p ± qi حيث p = −b/(2a) وq = √|Δ|/(2a). تُؤتمِت هذه الحاسبة كل خطوة وتعرض الحل الكامل بما في ذلك قيم المميز الوسيطة وتعبيرات الجذرين.

تظهر الجذور المركبة حين يكون Δ < 0. تأتي في أزواج مترافقة: x = p ± qi، حيث i = √(−1)، وp = −b/(2a) هو الجزء الحقيقي، وq = √(|Δ|)/(2a) هو الجزء التخيلي. هندسياً، الجذور المركبة تعني أن القطع المكافئ لا يقطع محور السينيات إطلاقاً — فهو يطفو كلياً فوق المحور إذا كان a > 0، أو كلياً تحته إذا كان a < 0. وعلى الرغم من عدم ظهورها على الرسم الحقيقي، تُحقق الجذور المركبة نظرية فييتا في مجموع الجذرين وحاصل ضربهما.

للدالة y = ax² + bx + c، يقع الرأس عند النقطة (h, k) حيث h = −b / (2a) وk = c − b² / (4a). إذا كان a > 0، فالرأس هو نقطة الحد الأدنى للقطع المكافئ؛ وإذا كان a < 0 فهو نقطة الحد الأقصى. الرأس هو النقطة الأهم في مسائل الأمثلة — إيجاد أقصى ربح، أو أدنى تكلفة، أو أقصى ارتفاع لمقذوف، أو أقصى مساحة محاطة بسياج ثابت الطول، كلها تتطلب تحديد الرأس. تعرض هذه الحاسبة إحداثيات الرأس تلقائياً.

محور التماثل هو الخط الرأسي x = −b / (2a) المار بالرأس. القطع المكافئ صورة مرآتية مثالية على جانبَي هذا الخط. حين يوجد جذران حقيقيان، فهما دائماً متماثلان: كل جذر على المسافة ذاتها الأفقية من محور التماثل. مثلاً، إذا كان الجذران 2 و8، فمحور التماثل عند x = 5. هذا يعني أيضاً أن إحداثي x لمحور التماثل هو الوسط الحسابي للجذرين.

تنص نظرية فييتا على أنه في المعادلة ax² + bx + c = 0، مجموع الجذرين يساوي −b/a وحاصل ضربهما يساوي c/a. تنطبق هذه العلاقات حتى على الجذور المركبة. تُتيح لك التحقق سريعاً: إذا لم يُساوِ مجموع الجذرين المحسوبَين القيمةَ −b/a، فثمة خطأ حسابي. كما تُمكّنك من بناء معادلة تربيعية من جذريها: إذا أردت جذرين r₁ وr₂، تكون المعادلة a(x − r₁)(x − r₂) = 0 التي تتوسع إلى ax² − a(r₁+r₂)x + a(r₁r₂) = 0.

نعم — التحليل أسرع حين تكون الجذور أعداداً صحيحة صغيرة. مثلاً، x² − 5x + 6 = 0 يُحلل إلى (x − 2)(x − 3) = 0 ليعطي الجذرين 2 و3. لكن التحليل على الأعداد الصحيحة ليس ممكناً دائماً حين تكون الجذور لاعقلانية أو مركبة. استراتيجية مفيدة: تحقق من المميز أولاً — إذا كان مربعاً تاماً، فالجذور مناسبة والتحليل عملي؛ وإلا فاستخدم القانون العام الذي يصلح لأي معاملات.

تتجاوز حاسبة UtiloKit معظم المنافسين. CalculatorSoup يعرض الحل خطوة بخطوة والمميز لكنه لا يُصيّر رسماً بيانياً. RapidTables يُتيح حاسبة أساسية دون مخرج بصري. أما هذه الأداة فتعرض الحل الكامل خطوة بخطوة وتحليل المميز وكلا الجذرين الحقيقي والمركب وإحداثيات الرأس ومحور التماثل والتقاطع مع محور الصاد والتحقق بنظرية فييتا ورسماً بيانياً SVG حياً للقطع المكافئ — كل ذلك يتحدث فورياً أثناء الكتابة دون أي طلب إلى الخادم.

تنمذج المعادلات التربيعية ظواهر فيزيائية كثيرة: حركة المقذوفات (h = v₀t − ½gt² تربيعية في الزمن؛ حل معادلة t عند h = 0 يعطي وقت الهبوط)، الاقتصاد (دالة الربح P = −ax² + bx − c تنمذج تناقص العائد ورأس القطع المكافئ يعطي الكمية المُعظِّمة للربح)، الهندسة (انحراف العتبات، رنين دارات LC)، ومسائل المساحة (تعظيم مساحة محاطة بسياج ثابت الطول). أي علاقة تزداد فيها كمية ما حتى تبلغ ذروتها ثم تتناقص — أو تملك حداً أدنى — هي في الغالب علاقة تربيعية.

حين تكون a = 0 تتحول المعادلة من تربيعية إلى خطية: bx + c = 0. إذا كان b ≠ 0 فالحل الوحيد هو x = −c/b. إذا كان b = 0 وc = 0 فالمعادلة 0 = 0 صحيحة دائماً (حلول لانهائية). إذا كان b = 0 وc ≠ 0 فالمعادلة c = 0 تناقض (لا حل). تكتشف هذه الحاسبة حالة a = 0 وتتعامل معها بشكل صحيح بدلاً من إنتاج خطأ القسمة على صفر.

تتطلب الحاسبة الصورة القياسية ax² + bx + c = 0. إذا كانت معادلتك بصورة مختلفة — مثلاً 2x² + 3 = 5x — أعد ترتيبها أولاً: اطرح 5x من الطرفين لتحصل على 2x² − 5x + 3 = 0، ثم أدخل a=2 وb=−5 وc=3. خطأ شائع هو ضياع الإشارات السالبة عند نقل الحدود عبر إشارة المساواة. اكتب دائماً المعادلة المُعاد ترتيبها صراحةً قبل قراءة قيم a وb وc.

نعم لكليهما. تعمل الحاسبة بالكامل في متصفحك باستخدام JavaScript — لا طلبات خادم، ولا رفع بيانات، ولا حاجة لحساب. تعمل بدون إنترنت بعد تحميل الصفحة. على خلاف Wolfram Alpha الذي يُرسل معادلتك إلى خادم سحابي وقد يُسجّل الاستعلامات، يبقى كل شيء هنا على جهازك. معاملاتك ومعادلاتك ونتائجك خاصة تماماً.