GCF & LCM Calculator

Le Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) — également appelé GCF en anglais ou PGCD/GCD selon les pays — est le plus grand nombre qui divise exactement tous les nombres donnés, sans reste. Pour 12 et 18 : les diviseurs de 12 sont 1, 2, 3, 4, 6, 12 ; les diviseurs de 18 sont 1, 2, 3, 6, 9, 18 ; les diviseurs communs sont 1, 2, 3, 6 ; le plus grand est 6. PGCD(12, 18) = 6. Le PGCD sert à simplifier les fractions à leur forme irréductible — on divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD.

Le Plus Petit Commun Multiple (PPCM) est le plus petit nombre dans lequel tous les nombres donnés se divisent exactement. Pour 4 et 6 : les multiples de 4 sont 4, 8, 12, 16, 20, 24… ; les multiples de 6 sont 6, 12, 18, 24… ; les multiples communs sont 12, 24, 36… ; le plus petit est 12. PPCM(4, 6) = 12. Le PPCM sert à trouver un dénominateur commun lorsqu'on additionne ou soustrait des fractions — le nouveau dénominateur est le PPCM des dénominateurs d'origine.

L'algorithme d'Euclide calcule PGCD(a,b) par divisions successives : PGCD(48, 18) → 48 ÷ 18 = 2, reste 12 → PGCD(18, 12) : 18 ÷ 12 = 1, reste 6 → PGCD(12, 6) : 12 ÷ 6 = 2, reste 0 → PGCD = 6. L'algorithme s'arrête quand le reste est 0 ; le dernier reste non nul est le PGCD. Cette méthode est bien plus rapide que l'énumération de tous les diviseurs pour les grands nombres ; c'est l'algorithme utilisé par ce calculateur. Décrit par Euclide vers 300 av. J.-C., il reste l'un des algorithmes les plus efficaces des mathématiques.

On décompose chaque nombre en facteurs premiers, on retient la puissance la plus élevée de chaque facteur premier apparaissant dans l'une ou l'autre décomposition, puis on multiplie. PPCM(12, 18) : 12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3². On retient 2² et 3² : PPCM = 4 × 9 = 36. Pour le PGCD, on utilise la puissance la plus basse de chaque facteur premier commun. La relation PGCD × PPCM = a × b est vérifiée pour tout couple de nombres — ainsi, si l'on connaît le PGCD, on peut obtenir le PPCM par PPCM(a,b) = (a × b) ÷ PGCD(a,b).

Pour tout couple d'entiers positifs a et b : PGCD(a,b) × PPCM(a,b) = a × b. Exemple : PGCD(12, 18) = 6, PPCM(12, 18) = 36, et 6 × 36 = 216 = 12 × 18. Cette relation est très utile : si l'on connaît l'une des valeurs, on peut calculer l'autre sans refaire la factorisation complète. L'identité démontre également que si PGCD(a,b) = 1 (les nombres sont premiers entre eux), alors PPCM(a,b) = a × b.

On applique l'opération de façon répétée : PGCD(a,b,c) = PGCD(PGCD(a,b),c). PPCM(a,b,c) = PPCM(PPCM(a,b),c). Pour PGCD(12, 18, 24) : PGCD(12, 18) = 6, puis PGCD(6, 24) = 6. Pour PPCM(4, 6, 8) : PPCM(4, 6) = 12, puis PPCM(12, 8) = 24. Cet outil gère jusqu'à 10 nombres en enchaînant automatiquement les opérations — il suffit de cliquer sur « + Ajouter un nombre » pour ajouter des champs. Wolfram Alpha prend également en charge le PGCD/PPCM multi-nombres, mais Mathway exige un compte payant pour afficher les étapes au-delà de deux nombres.

Pour réduire une fraction à sa forme irréductible, on divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD. Exemple : simplifier 24/36. PGCD(24, 36) = 12. 24 ÷ 12 = 2, 36 ÷ 12 = 3. La fraction simplifiée est 2/3. Une fraction est irréductible (entièrement simplifiée) lorsque PGCD(numérateur, dénominateur) = 1, ce qui signifie que le numérateur et le dénominateur n'ont aucun facteur commun autre que 1.

Pour additionner des fractions avec des dénominateurs différents, on les convertit en fractions équivalentes ayant le même dénominateur — le PPCM des dénominateurs d'origine. Exemple : 1/4 + 1/6. PPCM(4, 6) = 12. Conversion : 1/4 = 3/12, 1/6 = 2/12. Somme = 3/12 + 2/12 = 5/12. Utiliser le PPCM (plutôt que le produit) maintient les nombres aussi petits que possible et évite d'avoir à simplifier le résultat par la suite.

PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) et GCD (Greatest Common Divisor, en anglais) désignent exactement le même concept mathématique — deux noms pour la même notion. En France, on emploie couramment « PGCD » ; dans les programmes anglophones, on rencontre « GCF » (Greatest Common Factor) ou « HCF » (Highest Common Factor, surtout au Royaume-Uni) ; en mathématiques supérieures et en informatique, « GCD » est très répandu. Toutes ces notations donnent le même résultat.

Oui. Les champs numériques activent automatiquement le clavier numérique sur mobile, sans qu'il soit nécessaire de changer de mode de saisie manuellement. Ajoutez jusqu'à 10 nombres et le PGCD ainsi que le PPCM sont calculés instantanément avec les étapes détaillées affichées. Fonctionne dans Safari sur iPhone, Chrome sur Android, Firefox et tous les navigateurs mobiles modernes. Aucune application à installer, aucun compte requis, aucun fichier à charger. La page fonctionne également hors connexion une fois chargée — pratique pour réviser sans accès Internet fiable.