Number Sequence Generator

अंकगणितीय श्रेणी में क्रमागत पद एक स्थिर मान (सार्व अंतर d) से भिन्न होते हैं। ज्यामितीय में स्थिर अनुपात (r) होता है। उदाहरण: 2, 5, 8, 11 अंकगणितीय (d = 3); 2, 6, 18, 54 ज्यामितीय (r = 3)। अंकगणितीय रैखिक और ज्यामितीय घातांकीय रूप से बढ़ती हैं।

n-वाँ पद aₙ = a₁ + (n − 1) × d है। उदाहरण: 3, 7, 11, 15 में (a₁ = 3, d = 4), 10वाँ पद = 3 + (10 − 1) × 4 = 39।

प्रथम n पदों का योग Sₙ = n/2 × (a₁ + aₙ) = n/2 × (2a₁ + (n−1)d) है। गॉस ने इस सूत्र का उपयोग 1 से 100 तक के सभी पूर्णांकों का योग करने के लिए किया था: S = 100/2 × (1 + 100) = 5050।

n-वाँ पद aₙ = a₁ × r^(n − 1) है। 5, 10, 20, 40 में (a₁ = 5, r = 2), 8वाँ पद = 5 × 2⁷ = 640।

सीमित श्रेणी के लिए: Sₙ = a₁ × (1 − rⁿ) / (1 − r) जहाँ r ≠ 1। अनंत श्रेणी के लिए, |r| < 1 होने पर S∞ = a₁ / (1 − r) की ओर अभिसरित होती है; |r| ≥ 1 होने पर अपसारित होती है।

यह F₁ = 1, F₂ = 1 और Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂ द्वारा परिभाषित है: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89। यह प्रकृति में दिखाई देती है (सूरजमुखी के सर्पिल, नॉटिलस शंख)। आप लुकास संख्याओं (2, 1, 3, 4, 7, 11…) जैसे प्रकार खोजने के लिए प्रारंभिक मान बदल सकते हैं।

स्वर्णिम अनुपात φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1.61803। फिबोनाची श्रेणी बढ़ने पर Fₙ₊₁/Fₙ तेजी से φ की ओर अभिसरित होता है: F₁₀/F₉ = 55/34 ≈ 1.6176। φ, φ² = φ + 1 को संतुष्ट करता है।

2 से n तक सभी पूर्णांकों को अभाज्य मानकर चिह्नित किया जाता है। प्रत्येक अचिह्नित अभाज्य p के लिए, p² से शुरू करके उसके सभी गुणज को मिश्रित के रूप में चिह्नित किया जाता है। जब p² > n हो तब रुका जाता है। एल्गोरिदम O(n log log n) में चलता है और 1,000,000 तक सभी अभाज्य मिलीसेकंड में उत्पन्न करता है।

n-वीं त्रिभुज संख्या Tₙ = n(n+1)/2 है, जो n पंक्तियों वाले समबाहु त्रिभुज में बिंदुओं की संख्या दर्शाती है। श्रेणी है: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36। कस्टम फॉर्मूला टैब में n*(n+1)/2 का उपयोग करें।

हाँ। कस्टम फॉर्मूला टैब में n को चर के रूप में उपयोग करके कोई भी गणितीय व्यंजक दर्ज करें। समर्थित: +, −, *, /, ^ (शक्ति), sqrt, abs, floor, ceil, round, sin, cos, log। उदाहरण: n^2 = पूर्ण वर्ग, 2^n = दो की घात, n*(n+1)/2 = त्रिभुज संख्याएं।

पहले पहचानें कि श्रेणी अंकगणितीय (स्थिर अंतर), ज्यामितीय (स्थिर अनुपात) या अन्य प्रकार की है। अंकगणितीय के लिए क्रमागत पदों का अंतर निकालें (वही d है)। ज्यामितीय के लिए अनुपात निकालें (वही r है)। यदि कोई स्थिर नहीं, तो द्वितीय अंतर जांचें।

एक श्रेणी संख्याओं की क्रमबद्ध सूची है: 2, 4, 6, 8, 10। एक श्रृंखला पदों का योग है: 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30। यह कैलकुलेटर दोनों की गणना करता है: श्रेणी और आंशिक योग Sₙ।

पूर्ण वर्ग वे पूर्णांक हैं जो किसी अन्य पूर्णांक का वर्ग हैं: 1, 4, 9, 16, 25… (n²)। पूर्ण घन वे पूर्णांक हैं जो किसी अन्य पूर्णांक का घन हैं: 1, 8, 27, 64… (n³)।

प्रत्येक परिणाम कार्ड में 'श्रेणी कॉपी करें' बटन शामिल है जो अल्पविराम से अलग मान क्लिपबोर्ड पर कॉपी करता है। आप इन्हें Excel, Google Sheets, Python सूची या किसी अन्य टूल में सीधे पेस्ट कर सकते हैं।

हाँ। यह पूरी तरह से रेस्पॉन्सिव वेब ऐप है जो Safari (iPhone), Chrome (Android) और किसी भी आधुनिक ब्राउज़र पर काम करता है। सभी गणनाएं आपके ब्राउज़र में JavaScript से होती हैं — सर्वर को कोई डेटा नहीं भेजा जाता। कोई डाउनलोड नहीं, कोई रजिस्ट्रेशन नहीं।