GCF & LCM Calculator

최대공약수(GCF)는 최대공약수(GCD) 또는 최대공인수(HCF)라고도 불리며, 주어진 모든 수를 나머지 없이 나눌 수 있는 가장 큰 수를 말합니다. 예를 들어 12와 18의 경우: 12의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 12이고, 18의 약수는 1, 2, 3, 6, 9, 18입니다. 공약수는 1, 2, 3, 6이며, 가장 큰 것은 6입니다. 따라서 GCF(12, 18) = 6입니다. 최대공약수는 분수를 기약분수로 약분할 때 사용됩니다. 분자와 분모를 최대공약수로 나누면 됩니다.

최소공배수(LCM)는 주어진 모든 수의 배수 중 가장 작은 수를 말합니다. 예를 들어 4와 6의 경우: 4의 배수는 4, 8, 12, 16, 20, 24…이고, 6의 배수는 6, 12, 18, 24…입니다. 공배수는 12, 24, 36…이며, 가장 작은 것은 12입니다. 따라서 LCM(4, 6) = 12입니다. 최소공배수는 분수를 더하거나 뺄 때 공통 분모를 구하는 데 사용됩니다. 새 분모는 원래 분모들의 최소공배수가 됩니다.

유클리드 호제법은 반복 나눗셈으로 GCF(a, b)를 구합니다. GCF(48, 18)의 경우: 48 ÷ 18 = 2 나머지 12 → GCF(18, 12): 18 ÷ 12 = 1 나머지 6 → GCF(12, 6): 12 ÷ 6 = 2 나머지 0 → 최대공약수 = 6. 나머지가 0이 되면 알고리즘이 종료되며, 마지막 0이 아닌 나머지가 최대공약수입니다. 큰 수에 대해 모든 약수를 나열하는 것보다 훨씬 빠르며, 이 계산기도 이 알고리즘을 사용합니다. 기원전 300년경 유클리드가 기술한 방법으로, 수학에서 가장 효율적인 알고리즘 중 하나입니다.

각 수를 소인수분해하고, 각 소인수의 최대 지수를 선택한 뒤 모두 곱합니다. LCM(12, 18)의 경우: 12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3². 2²와 3²을 선택하면 LCM = 4 × 9 = 36입니다. 최대공약수는 반대로 공통 소인수의 최소 지수를 사용합니다. 두 수에 대해 GCF × LCM = a × b의 관계가 성립하므로, 최대공약수를 알면 LCM(a, b) = (a × b) ÷ GCF(a, b) 공식으로 최소공배수를 바로 구할 수 있습니다.

양의 정수 a, b에 대해 GCF(a, b) × LCM(a, b) = a × b가 항상 성립합니다. 예: GCF(12, 18) = 6, LCM(12, 18) = 36이고, 6 × 36 = 216 = 12 × 18입니다. 이 관계를 이용하면, 하나의 값을 알 때 전체 인수분해를 반복하지 않고 다른 값을 바로 계산할 수 있습니다. 또한 GCF(a, b) = 1이면(서로소), LCM(a, b) = a × b임을 증명할 수 있습니다.

연산을 반복 적용합니다. GCF(a, b, c) = GCF(GCF(a, b), c), LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c). GCF(12, 18, 24)의 경우: GCF(12, 18) = 6, GCF(6, 24) = 6. LCM(4, 6, 8)의 경우: LCM(4, 6) = 12, LCM(12, 8) = 24. 이 도구는 '+ 숫자 추가' 버튼으로 최대 10개까지 자동으로 연쇄 계산합니다. Wolfram Alpha도 다중 숫자 GCF/LCM을 지원하지만 검색 인터페이스를 탐색해야 하며, Mathway는 두 숫자 초과의 풀이 과정 표시에 유료 계정이 필요합니다.

분수를 기약분수로 만들려면 분자와 분모를 최대공약수로 나눕니다. 예: 24/36 약분. GCF(24, 36) = 12. 24 ÷ 12 = 2, 36 ÷ 12 = 3. 기약분수는 2/3입니다. GCF(분자, 분모) = 1, 즉 분자와 분모의 공약수가 1뿐일 때 분수가 기약분수 상태임을 의미합니다.

분모가 다른 분수를 더하려면 두 분수를 같은 분모(원래 분모들의 최소공배수)로 통분합니다. 예: 1/4 + 1/6. LCM(4, 6) = 12. 변환: 1/4 = 3/12, 1/6 = 2/12. 합계 = 3/12 + 2/12 = 5/12. 분모의 곱 대신 최소공배수를 사용하면 숫자를 최대한 작게 유지할 수 있고, 계산 후 별도의 약분이 필요 없습니다.

GCF(최대공약수, Greatest Common Factor)와 GCD(최대공약수, Greatest Common Divisor)는 완전히 동일한 수학적 개념의 두 가지 명칭입니다. 인수(Factor)와 약수(Divisor)는 여기서 같은 의미로, 어떤 수를 나머지 없이 나누는 수를 뜻합니다. 미국 초·중등 교육에서는 GCF를, 대학 수학 및 컴퓨터 과학에서는 GCD를, 영국 교육과정에서는 HCF(최고공약수, Highest Common Factor)를 주로 사용합니다. 세 용어 모두 동일한 결과를 구합니다.

네. 숫자 입력 필드를 터치하면 모바일에서 자동으로 숫자 키패드가 표시되어 키보드 모드를 전환할 필요가 없습니다. 숫자를 최대 10개까지 추가하면 최대공약수와 최소공배수, 단계별 풀이가 즉시 표시됩니다. 아이폰의 Safari, 안드로이드의 Chrome, Firefox 등 모든 최신 모바일 브라우저에서 작동합니다. 앱 설치, 계정 등록, 파일 업로드가 필요 없습니다. 한 번 로드된 후에는 오프라인에서도 사용 가능하여 인터넷 연결이 불안정한 환경에서 학습하는 경우에도 유용합니다.