Matrix Calculator
НовоеAdd, subtract, multiply matrices and compute determinant, inverse and transpose for 2×2–4×4 matrices.
Operations
Runs entirely in your browser. Nothing is uploaded.
Что такое калькулятор матриц?
Калькулятор матриц — это онлайн-инструмент, выполняющий операции линейной алгебры над прямоугольными массивами чисел. Стандартные операции включают сложение, вычитание, умножение, умножение на скаляр, транспонирование, определитель, обратную матрицу и приведение к ступенчатой форме (RREF). Эти операции составляют основу линейной алгебры, которая является фундаментом машинного обучения, компьютерной графики, строительной инженерии, экономики и большинства количественных наук.
Этот бесплатный калькулятор матриц поддерживает матрицы до 4×4 и выполняет восемь различных операций: A+B, A−B, A×B, k·A, Aᵀ, det(A), A⁻¹ и RREF(A). Для вычисления определителя и обратной матрицы отображается пошаговое решение — разложение по первой строке для определителя и метод присоединённой матрицы для обратной. RREF показывает каждую элементарную операцию над строками (перестановку, масштабирование, исключение) по порядку, что удобно для проверки домашних заданий и понимания метода Гаусса.
Как пользоваться калькулятором матриц
Задайте размеры матрицы A и матрицы B с помощью выпадающих списков строк и столбцов (от 1 до 4 для каждого измерения). Нажмите на любую ячейку сетки, чтобы ввести значение — клавиша Tab переходит к следующей ячейке по горизонтали, ускоряя ввод данных с клавиатуры. Десятичные значения и отрицательные числа полностью поддерживаются; незаполненные ячейки оставьте равными 0. Для операций с одной матрицей (транспонирование, определитель, обратная, RREF) достаточно заполнить только матрицу A. Для бинарных операций (A+B, A−B, A×B) обе матрицы должны иметь совместимые размеры.
Нажмите кнопку операции, чтобы вычислить и отобразить сетку результатов ниже. Для решения системы линейных уравнений создайте расширенную матрицу [A|b], добавив столбец констант в матрицу A, затем запустите RREF(A). Решение считывается непосредственно из крайнего правого столбца результата.
Операции над матрицами, определители и обратные матрицы
Сложение и вычитание — поэлементные операции, требующие одинаковых размеров матриц. Умножение A×B требует, чтобы число столбцов A равнялось числу строк B; результат имеет число строк A и число столбцов B. Элемент (i,j) произведения равен скалярному произведению строки i из A и столбца j из B. Умножение на скаляр kA умножает каждый элемент на k. Транспонирование Aᵀ отображает матрицу относительно главной диагонали, превращая матрицу m×n в n×m.
Определитель показывает, является ли матрица обратимой (det ≠ 0) и в каком масштабе она изменяет площади или объёмы. Обратная матрица A⁻¹ «отменяет» A: умножение A на A⁻¹ даёт единичную матрицу. На практике при решении уравнений применение RREF к расширенной матрице [A|b] численно устойчивее, чем вычисление A⁻¹ с последующим умножением — оно одновременно выявляет совместность, единственность и значения решения. Ранг A (число ненулевых строк в RREF) определяет тип решения (единственное, бесконечное множество или отсутствие).
Почему важно пошаговое решение
Большинство онлайн-калькуляторов матриц показывают ответ, но не способ его получения. Этот показывает каждый промежуточный шаг для трёх операций, которые студенты должны понимать лучше всего: разложение по алгебраическим дополнениям для определителей, метод присоединённой матрицы для обратных матриц и отдельные элементарные операции над строками (масштабирование, перестановка, исключение) для RREF. Именно пошаговый вывод делает инструмент полезным для проверки домашних заданий, а не просто для получения ответа.
Реализация RREF использует частичный выбор ведущего элемента — перестановку к элементу с наибольшим абсолютным значением в каждом столбце перед делением — что повышает числовую устойчивость и избегает ошибок деления с плавающей точкой в наивных реализациях. Значения ниже 1e-10 устанавливаются в точный ноль, поэтому результаты остаются чистыми даже для плохо обусловленных входных данных.
Сравнение с Wolfram Alpha, Symbolab и Mathway
Wolfram Alpha — самая мощная альтернатива, но ограничивает бесплатные запросы матриц и скрывает пошаговое решение за подпиской Pro за 7$/мес. Symbolab и Mathway требуют регистрации аккаунта и ограничивают бесплатные пошаговые вычисления примерно 5–10 в день. Desmos хорош для графиков, но не поддерживает операции с матрицами. Этот калькулятор другой: без аккаунта, без дневного лимита, без платного контента. Каждая операция — включая полное пошаговое решение для определителей, обратных матриц и RREF — бесплатна при каждом использовании.
Инструмент работает полностью в браузере. Данные ваших матриц никогда не покидают ваше устройство. Это важно при работе с учебными задачами или конфиденциальными инженерными данными, которые не должны отправляться на сторонние серверы. Закройте вкладку — данные исчезнут.
Frequently asked questions
Что такое умножение матриц и когда оно выполнимо?
Умножение A × B определено только тогда, когда число столбцов A равно числу строк B. Если A размером m×n, а B размером n×p, то результат C имеет размер m×p. Элемент C(i,j) равен скалярному произведению строки i из A и столбца j из B. Отметим, что умножение матриц в общем случае не коммутативно — A×B и B×A дают разные результаты, а B×A может быть вообще не определено, если размеры не совпадают в том порядке.
Как вычисляется определитель матрицы?
Для матрицы 2×2 [[a,b],[c,d]], det = ad − bc. Для матриц 3×3 или 4×4 калькулятор использует разложение по первой строке: det(A) = Σⱼ A(1,j) × (−1)^(1+j) × det(Mⱼ), где Mⱼ — минор (подматрица с удалённой строкой 1 и столбцом j). Определитель равен нулю тогда и только тогда, когда матрица вырождена (не обратима). Пошаговое решение отображается для всех вычислений определителей.
Когда матрица имеет обратную?
Обратная матрица существует тогда и только тогда, когда матрица квадратная (n×n) и её определитель не равен нулю. Обратная A⁻¹ удовлетворяет A × A⁻¹ = A⁻¹ × A = I (единичная матрица). Если det(A) = 0, матрица называется вырожденной, и обратной не существует — калькулятор проверяет определитель перед попыткой обращения и выдаёт чёткую ошибку для вырожденных матриц. Неквадратные матрицы никогда не имеют обратных.
Что такое RREF (ступенчатая форма)?
RREF преобразует матрицу в каноническую форму, при которой: (1) первый ненулевой элемент каждой ненулевой строки (ведущий элемент) равен 1, (2) каждый ведущий элемент строго правее ведущего элемента строки выше, (3) все элементы выше и ниже ведущего равны 0, (4) нулевые строки находятся в конце. RREF используется для решения систем линейных уравнений, нахождения ранга матрицы, определения совместности и вычисления нулевых пространств. Каждая матрица имеет единственную RREF.
Как решить систему трёх линейных уравнений с тремя неизвестными?
Введите матрицу коэффициентов 3×3 как матрицу A и установите размер 3 строки × 4 столбца, добавив константы в четвёртый столбец (расширенная матрица). Введите коэффициенты и константы, затем нажмите RREF(A). Считайте решение из последнего столбца результата RREF — значения в строках 1, 2, 3 последнего столбца — это значения x, y, z соответственно. Если в какой-либо строке отсутствует ведущий элемент, система имеет бесконечно много решений или решений нет.
Почему важен порядок при умножении матриц?
В отличие от умножения скаляров, умножение матриц не коммутативно: AB ≠ BA в общем случае. Геометрически, если A и B представляют линейные преобразования, AB применяет сначала B, затем A, а BA применяет сначала A, затем B — результат разный. Это некоммутативность фундаментальна для линейной алгебры и объясняет, почему порядок матричных операций в уравнениях имеет принципиальное значение.
Можно ли пользоваться этим калькулятором на телефоне?
Да. Калькулятор полностью адаптивен и работает в Safari на iPhone, Chrome на Android и в браузерах планшетов. Ячейки ввода перестраиваются для сенсорного управления, а клавиша Tab на Bluetooth-клавиатуре или кнопка следующего поля на мобильной клавиатуре позволяют эффективно переходить между ячейками. Все восемь операций доступны на любом размере экрана без установки приложения.
Related tools
Все инструменты
Новое Конвертер JSON ⇄ CSV
Преобразуйте массив JSON в CSV и CSV обратно в JSON с корректным экранированием.
Новое Форматер XML
Форматируйте, минифицируйте и проверяйте XML прямо в браузере.
Новое Форматер SQL
Форматируйте и минифицируйте SQL-запросы с регистром ключевых слов и переносами выражений.
Новое JSON в TypeScript
Генерируйте интерфейсы TypeScript из примера JSON, с вложенными типами.
Новое Просмотр CSV
Просматривайте, сортируйте и ищите по файлам CSV или TSV как по аккуратной таблице — в браузере.
Новое Statistics Calculator
Calculate mean, median, mode, standard deviation, variance and more from a data set.