GCF & LCM Calculator
新Find GCF (greatest common factor) and LCM (least common multiple) for up to 10 numbers. Euclidean algorithm steps & prime factorization shown.
Runs entirely in your browser. Nothing is uploaded.
支援最多10個數字的最大公因數與最小公倍數計算機（含步驟解析）
這款 最大公因數與最小公倍數計算機 可一次計算最多10個正整數的最大公因數（GCF／GCD／HCF）與最小公倍數（LCM），並即時顯示結果與詳細步驟——LCM 採質因數分解法，GCF 採輾轉相除法逐步說明。點選「＋新增數字」按鈕即可增加輸入欄位。
所有運算均在瀏覽器中執行，資料不會傳送至伺服器。無需註冊、不需上傳檔案，對輸入數字大小亦無限制（惟超過 2^53 的極大數字可能超出 JavaScript 安全整數範圍，建議改用高精度函式庫）。
輾轉相除法——最大公因數的計算原理
輾轉相除法（歐幾里得演算法）是求 GCF(a, b) 的標準方法：反覆以較大數除以較小數，取餘數代替較大數，直到餘數為零，最後一個非零餘數即為最大公因數。此演算法時間複雜度為 O(log min(a, b))，即使面對極大數字也極為高效。
範例：GCF(252, 105)。步驟一：252 ÷ 105 = 2 餘 42。步驟二：105 ÷ 42 = 2 餘 21。步驟三：42 ÷ 21 = 2 餘 0。GCF = 21。計算機會顯示這些步驟，方便學生核對手算過程或學習演算法。
質因數分解——最小公倍數的計算原理
求 LCM 最直觀的方法是 質因數分解：將每個數分解為質數冪次相乘，取各質數在所有分解式中出現的最高次方，再相乘即得。以 LCM(36, 48, 60) 為例：36 = 2² × 3²，48 = 2⁴ × 3，60 = 2² × 3 × 5。各質數最高次方：2⁴、3²、5¹。LCM = 16 × 9 × 5 = 720。
對兩個數字，可用捷徑：LCM(a, b) = (a × b) ÷ GCF(a, b)。許多計算機內部即採此法，因為用輾轉相除法求 GCF 非常快速。對三個以上的數字，本計算機採鏈式計算：LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)。
實際應用：分數化簡、排程問題與程式設計
GCF 最常見的課堂應用是 分數化簡：將分子與分母同除以它們的最大公因數，即可化為最簡分數。LCM 的主要用途則是 通分，用於分數的加減運算。
在現實的排程問題中，LCM 可回答：「若事件甲每隔12天發生一次，事件乙每隔8天發生一次，兩者下次同時發生是何時？」LCM(12, 8) = 24天。在程式設計中，GCF 與 LCM 廣泛應用於有理數運算、齒輪比計算及拼貼問題。輾轉相除法是現代軟體中仍持續使用的最古老演算法之一。
與 Wolfram Alpha、Mathway 及 Symbolab 的比較
Wolfram Alpha 能提供完整質因數分解細節並處理極大數字與符號輸入，是複雜情境下最強大的工具。Mathway 與 Symbolab 提供類似的步驟解析，但須免費註冊或付費訂閱才能查看完整步驟——Mathway 的步驟檢視需每月支付 NT$300 左右的訂閱費。
本工具無需任何帳號即可查看步驟，最多可同時處理10個數字（多數工具僅支援2至3個），且工具頁面不含廣告網路帶來的額外載入負擔。對於需要核對作業的學生，或需要快速查詢的開發者而言，比起在 Wolfram Alpha 的通用搜尋介面中反覆操作、或付費使用 Mathway 訂閱，本工具更加便捷。
Frequently asked questions
最大公因數（GCF）是什麼？
最大公因數（GCF）——又稱最大公約數（GCD）或最高公因數（HCF）——是能整除所有給定數字且無餘數的最大整數。以12和18為例：12的因數為1, 2, 3, 4, 6, 12；18的因數為1, 2, 3, 6, 9, 18；公因數為1, 2, 3, 6；其中最大的是6。GCF(12, 18) = 6。最大公因數常用於分數化簡——將分子與分母同除以它們的最大公因數，即可得到最簡分數。
最小公倍數（LCM）是什麼？
最小公倍數（LCM）是所有給定數字都能整除的最小正整數。以4和6為例：4的倍數為4, 8, 12, 16, 20, 24…；6的倍數為6, 12, 18, 24…；公倍數為12, 24, 36…；其中最小的是12。LCM(4, 6) = 12。最小公倍數常用於分數加減時尋找公分母——新的分母即為原各分母的最小公倍數。
如何用輾轉相除法求最大公因數？
輾轉相除法透過反覆做除法來求 GCF(a, b)：GCF(48, 18) → 48 ÷ 18 = 2 餘 12 → GCF(18, 12)：18 ÷ 12 = 1 餘 6 → GCF(12, 6)：12 ÷ 6 = 2 餘 0 → GCF = 6。當餘數為0時演算法結束，最後一個非零餘數即為最大公因數。對於大數而言，此法遠比逐一列舉因數更快，也是本計算機所採用的演算法。此法由歐幾里得於西元前約300年提出，至今仍是數學中最高效的演算法之一。
如何用質因數分解法求最小公倍數？
將每個數分解為質數冪次的乘積，取各質數在所有分解式中的最高次方，再相乘即得最小公倍數。以 LCM(12, 18) 為例：12 = 2² × 3，18 = 2 × 3²。取 2² 和 3²：LCM = 4 × 9 = 36。求最大公因數則改取各公因質數的最低次方。對於兩個數字，存在關係式：GCF × LCM = a × b；因此若已知 GCF，可用 LCM(a, b) = (a × b) ÷ GCF(a, b) 快速求得 LCM。
最大公因數與最小公倍數有什麼關係？
對任意兩個正整數 a 與 b，均有：GCF(a, b) × LCM(a, b) = a × b。範例：GCF(12, 18) = 6，LCM(12, 18) = 36，而 6 × 36 = 216 = 12 × 18。此關係式非常實用：若已知其中一個值，無需重複完整的質因數分解，即可直接算出另一個。此等式亦能說明：若 GCF(a, b) = 1（兩數互質），則 LCM(a, b) = a × b。
如何求三個以上數字的最大公因數與最小公倍數？
反覆套用運算即可：GCF(a, b, c) = GCF(GCF(a, b), c)；LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)。以 GCF(12, 18, 24) 為例：GCF(12, 18) = 6，再 GCF(6, 24) = 6。以 LCM(4, 6, 8) 為例：LCM(4, 6) = 12，再 LCM(12, 8) = 24。本工具最多可同時處理10個數字，透過自動鏈式計算完成——只需點選「＋新增數字」即可增加輸入欄位。Wolfram Alpha 同樣支援多數字的 GCF／LCM，但須在其搜尋介面中操作；Mathway 需付費訂閱才能顯示超過兩個數字的步驟。
如何用最大公因數化簡分數？
要將分數化為最簡分數，只需將分子與分母同除以它們的最大公因數。範例：化簡 24/36。GCF(24, 36) = 12。24 ÷ 12 = 2，36 ÷ 12 = 3。化簡後的分數為 2/3。當 GCF(分子, 分母) = 1 時，即表示分子與分母除了1以外沒有其他公因數，分數已達最簡形式。
如何用最小公倍數進行分數加法？
對分母不同的分數進行加法時，需先將兩個分數化為同分母的等值分數——公分母即為原各分母的最小公倍數。範例：1/4 + 1/6。LCM(4, 6) = 12。換算：1/4 = 3/12，1/6 = 2/12。相加：3/12 + 2/12 = 5/12。採用最小公倍數（而非直接相乘）作為公分母，可使數字盡量保持最小，也避免加法後還需再次化簡。
GCF 和 GCD 有什麼不同？
GCF（最大公因數）與 GCD（最大公約數）指的是完全相同的數學概念——只是兩種不同的叫法。「因數」（factor）與「約數」（divisor）在此可互換使用，都是指能整除另一個數且無餘數的數。部分課程使用 GCF（常見於美國中小學教育），其他課程使用 GCD（常見於大學數學與電腦科學），另有課程使用 HCF（最高公因數，常見於英國課程）。三種說法計算結果完全相同。
這款 GCF／LCM 計算機在手機（iPhone 與 Android）上可以使用嗎？
可以。數字輸入欄位會在手機上自動彈出數字鍵盤，無需手動切換輸入模式。最多可輸入10個數字，GCF 與 LCM 的計算結果及步驟解析會即時顯示。支援 iPhone 的 Safari、Android 的 Chrome、Firefox 及所有現代行動瀏覽器。無需安裝應用程式、不需帳號，亦不須上傳任何檔案。頁面載入後亦可離線使用——對於在網路不穩定環境下讀書的學生非常方便。
