Number Sequence Generator

等差數列中連續項相差一個稱為公差（d）的常數。等比數列中連續項有一個恆定比值（r）：每項等於前一項乘以r。例如：2, 5, 8, 11是等差數列（d = 3）；2, 6, 18, 54是等比數列（r = 3）。等差數列線性增長，等比數列指數增長。

第n項為aₙ = a₁ + (n − 1) × d。例如在3, 7, 11, 15中（a₁ = 3，d = 4），第10項 = 3 + (10 − 1) × 4 = 39。

前n項之和為Sₙ = n/2 × (a₁ + aₙ) = n/2 × (2a₁ + (n−1)d)。高斯10歲時就用這個公式計算了1到100的和：S = 100/2 × (1 + 100) = 5050。

第n項為aₙ = a₁ × r^(n − 1)。在5, 10, 20, 40中（a₁ = 5，r = 2），第8項 = 5 × 2⁷ = 640。

有限級數：Sₙ = a₁ × (1 − rⁿ) / (1 − r)，r ≠ 1。無窮級數，當|r| < 1時收斂到S∞ = a₁ / (1 − r)；當|r| ≥ 1時發散。

由F₁ = 1，F₂ = 1，Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂定義：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89。出現在自然界（向日葵螺旋、鸚鵡螺殼）和電腦科學中。可更改初始值探索盧卡斯數（2, 1, 3, 4, 7, 11…）等變體。

黃金比例φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1.61803。隨著費波那契數列增長，Fₙ₊₁/Fₙ迅速收斂於φ：F₁₀/F₉ = 55/34 ≈ 1.6176。φ滿足φ² = φ + 1。

從將2到n的所有整數標記為質數開始。對每個未標記的質數p，從p²起將其所有倍數標記為合數。當p² > n時停止。演算法複雜度O(n log log n)，可在毫秒內生成500個質數或100萬範圍內的所有質數。

第n個三角數為Tₙ = n(n+1)/2，代表n行等邊三角形排列中的點數。數列為1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36。在自訂公式標籤中使用運算式n*(n+1)/2生成。

可以。在自訂公式標籤中，輸入以n為變數的任意數學運算式。支援的運算子：+、−、*、/、^（次方）。函數：sqrt、abs、floor、ceil、round、sin、cos、log。例如：n^2生成完全平方數，2^n生成2的冪次，n*(n+1)/2生成三角數。

首先判斷數列是等差（公差恆定）、等比（公比恆定）還是其他類型。等差：計算連續項之差（即d）。等比：計算相鄰項之比（即r）。如果兩者都不恆定，檢查二階差分。

數列是有序的數字列表：2, 4, 6, 8, 10。級數是各項之和：2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30（前5項的部分和）。本計算器兩者都能計算：數列（項的列表）和部分和Sₙ。

完全平方數是某整數的平方：1, 4, 9, 16, 25, 36…（n²）。完全立方數是某整數的立方：1, 8, 27, 64, 125…（n³）。使用平方與立方標籤並排生成兩個數列。

每個結果卡片都有「複製數列」按鈕，點擊即可將逗號分隔的值複製到剪貼簿。可以直接貼到Excel、Google Sheets、Python列表或任何其他工具中。

可以。這是一個完全響應式的網頁應用，適用於Safari（iPhone）、Chrome（Android）和任何現代瀏覽器。所有計算都在瀏覽器中用JavaScript本地執行，不向任何伺服器發送資料。無需下載，無需註冊，無限制。