Matrix Calculator
جديدAdd, subtract, multiply matrices and compute determinant, inverse and transpose for 2×2–4×4 matrices.
Operations
Runs entirely in your browser. Nothing is uploaded.
ما هي حاسبة المصفوفات؟
حاسبة المصفوفات هي أداة إلكترونية تُجري عمليات الجبر الخطي على مصفوفات مستطيلة من الأعداد. تشمل العمليات الشائعة الجمع والطرح والضرب والضرب القياسي والنقل والمحدد والمعكوس والتحويل الصفي إلى الصورة الصفية المختزلة (RREF). هذه العمليات محورية في الجبر الخطي، الذي يُعدّ أساساً لتعلم الآلة والرسومات الحاسوبية والهندسة الإنشائية والاقتصاد وأغلب العلوم الكمية.
تدعم هذه الحاسبة المجانية للمصفوفات مصفوفات حتى 4×4 وتُنفذ ثماني عمليات متميزة: A+B و A−B و A×B و k·A و Aᵀ و det(A) و A⁻¹ و RREF(A). تُعرض خطوات الحل التفصيلية لعمليتي المحدد والمعكوس — مُظهِرةً التوسع بالمكملات الجبرية للمحدد وطريقة المصفوفة الملحقة للمعكوس. تعرض RREF كل عملية صفية أولية (التبديل والقياس والحذف) بالتسلسل، مما يُعينك على مراجعة الواجبات وفهم حذف غاوس.
كيفية استخدام حاسبة المصفوفات
حدِّد أبعاد المصفوفة A والمصفوفة B باستخدام القوائم المنسدلة للصفوف والأعمدة (من 1 إلى 4 لكل بُعد). انقر فوق أي خلية في الشبكة لإدخال قيمة — تنتقل مفتاح Tab إلى الخلية التالية أفقياً مما يُسرّع إدخال البيانات بلوحة المفاتيح. القيم العشرية والأعداد السالبة مدعومة بالكامل؛ اترك الخلايا عند 0 إذا لم تكن مطلوبة. للعمليات التي تتطلب مصفوفة واحدة فقط (النقل والمحدد والمعكوس و RREF)، يكفي إدخال القيم في المصفوفة A فقط. أما للعمليات الثنائية (A+B و A−B و A×B)، فيجب أن تمتلك المصفوفتان أبعاداً متوافقة.
انقر فوق زر العملية لحساب النتيجة وعرض شبكتها أدناه. لحل نظام معادلات خطية، أنشئ مصفوفة موسّعة [A|b] بإضافة عمود إضافي للثوابت إلى المصفوفة A، ثم شغِّل RREF(A). تُقرأ الحلول مباشرةً من العمود الأيمن لنتيجة RREF.
شرح عمليات المصفوفات والمحددات والمعكوسات
الجمع والطرح عمليتان عنصريتان تتطلبان أبعاداً متطابقة. الضرب A×B يستلزم أن يساوي عدد أعمدة A عدد صفوف B؛ والنتيجة لها عدد صفوف A وعدد أعمدة B. العنصر (i,j) في حاصل الضرب هو حاصل الضرب النقطي للصف i من A والعمود j من B. الضرب القياسي kA يضرب كل عنصر في k. النقل Aᵀ يعكس المصفوفة حول قطرها الرئيسي، محوِّلاً مصفوفة m×n إلى n×m.
يُخبرنا المحدد بما إذا كانت المصفوفة قابلة للعكس (det ≠ 0) وبأي معامل تُقيّس المساحات أو الأحجام. المعكوس A⁻¹ يُلغي تأثير A: ضرب A في A⁻¹ ينتج مصفوفة الوحدة. للحل العملي للمعادلات، يُعدّ تطبيق RREF على المصفوفة الموسّعة [A|b] أكثر استقراراً عددياً من حساب A⁻¹ والضرب — إذ يكشف في آنٍ واحد عن الاتساق والتفرد وقيم الحل. رتبة A (عدد الصفوف غير الصفرية في RREF) تُحدد أيّ أنواع الحلول الثلاثة (وحيد، لانهائي، لا حل) ينطبق.
لماذا تهم خطوات الحل التفصيلية؟
تعرض معظم حاسبات المصفوفات الإلكترونية الإجابة دون بيان الطريقة. هذه الحاسبة تعرض كل خطوة وسيطة للعمليات الثلاث التي يحتاج الطلاب إلى فهمها أكثر: التوسع بالمكملات الجبرية للمحددات، وطريقة المصفوفة الملحقة لمعكوس المصفوفات، والعمليات الصفية الفردية (القياس والتبديل والحذف) لـ RREF. هذا الإخراج التفصيلي هو ما يجعل الأداة مفيدة للتحقق من الواجبات لا مجرد استخلاص الإجابات.
يستخدم تطبيق RREF الإزاحة الجزئية — الانتقال إلى العنصر ذي أعلى قيمة مطلقة في كل عمود قبل القسمة — مما يُحسّن الاستقرار العددي ويتجنب أخطاء القسمة بالفاصلة العائمة التي تظهر في التطبيقات الساذجة. القيم الأقل من 1e-10 تُضبط على الصفر الدقيق، فتبقى النتائج نظيفة.
مقارنة مع Wolfram Alpha و Symbolab و Mathway
Wolfram Alpha هو البديل الأقوى لكنه يُقيّد استعلامات المصفوفات المجانية ويخفي خطوات الحل خلف اشتراك Pro بـ 7 دولارات شهرياً. يتطلب Symbolab و Mathway إنشاء حساب ويُقيّدان الحسابات المجانية التفصيلية إلى نحو 5–10 يومياً. يتميز Desmos في الرسوم البيانية لكنه لا يدعم عمليات المصفوفات. هذه الحاسبة مختلفة: بلا حساب، بلا حد يومي، وبلا جدار دفع. كل عملية — بما في ذلك الحل الكامل للمحددات والمعكوسات و RREF — مجانية في كل استخدام.
وتعمل بالكامل في متصفحك. بيانات مصفوفاتك لا تغادر جهازك قط. هذا مهم حين تعمل على واجبات دراسية أو بيانات هندسية خاصة لا ينبغي إرسالها إلى خادم خارجي. أغلق التبويب وتختفي البيانات.
Frequently asked questions
ما ضرب المصفوفات ومتى يمكن إجراؤه؟
ضرب A × B معرَّف فقط حين يساوي عدد أعمدة A عدد صفوف B. إن كانت A بحجم m×n وB بحجم n×p، فالنتيجة C بحجم m×p. كل عنصر C(i,j) هو حاصل الضرب النقطي للصف i من A بالعمود j من B. لاحظ أن ضرب المصفوفات ليس تبادلياً بوجه عام — A×B و B×A نتيجتان مختلفتان، وقد لا يكون B×A معرَّفاً أصلاً إذا لم تتلاءم الأبعاد بذلك الترتيب.
كيف يُحسب محدد المصفوفة؟
لمصفوفة 2×2 هي [[a,b],[c,d]]، المحدد = ad − bc. لمصفوفات 3×3 أو 4×4، تستخدم الحاسبة التوسع بالمكملات الجبرية على طول الصف الأول: det(A) = Σⱼ A(1,j) × (−1)^(1+j) × det(Mⱼ)، حيث Mⱼ هو المحذوف (المصفوفة الفرعية دون الصف 1 والعمود j). المحدد يساوي الصفر إذا وفقط إذا كانت المصفوفة شاذة (غير قابلة للعكس).
متى تمتلك المصفوفة معكوساً؟
يوجد المعكوس إذا وفقط إذا كانت المصفوفة مربعة (n×n) ومحددها غير صفري. المعكوس A⁻¹ يُحقق A × A⁻¹ = A⁻¹ × A = I (مصفوفة الوحدة). إذا كان det(A) = 0، تُسمى المصفوفة شاذة ولا يوجد لها معكوس — تتحقق الحاسبة من المحدد قبل محاولة العكس وتُبلّغ بخطأ واضح. المصفوفات غير المربعة لا يوجد لها معكوسات أبداً.
ما هي RREF (الصورة الصفية المختزلة)؟
تُحوّل RREF المصفوفة إلى صورة قانونية حيث: (1) أول عنصر غير صفري في كل صف غير صفري (المحور) يساوي 1، (2) كل محور يقع تماماً يمين محور الصف الأعلى، (3) كل عنصر فوق وتحت المحور يساوي 0، و(4) الصفوف الصفرية في الأسفل. تُستخدم RREF لحل أنظمة المعادلات الخطية وإيجاد رتبة المصفوفة وحساب الفضاءات الصفرية. لكل مصفوفة RREF وحيدة.
كيف أحل نظام معادلات خطية 3×3 بهذه الحاسبة؟
أعِدّ مصفوفة المعاملات 3×3 بوصفها المصفوفة A واضبط الأبعاد على 3 صفوف × 4 أعمدة لتضمين الثوابت عموداً رابعاً (المصفوفة الموسّعة). أدخل المعاملات والثوابت ثم انقر RREF(A). اقرأ الحل من العمود الأخير لنتيجة RREF — قيم الصفوف 1 و2 و3 في العمود الأخير هي قيم x و y و z على التوالي.
لماذا يهم ترتيب ضرب المصفوفات؟
خلافاً للضرب القياسي، ضرب المصفوفات ليس تبادلياً: AB ≠ BA بوجه عام. هندسياً، إذا مثّل A و B كل منهما تحويلاً خطياً، فإن AB يُطبّق B أولاً ثم A، بينما BA يُطبّق A أولاً ثم B — مما ينتج عنه مواضع نهائية مختلفة. هذا عدم التبادلية أساسي في الجبر الخطي ويُفسّر ضرورة العناية بترتيب عمليات المصفوفات في المعادلات.
هل يمكنني استخدام الحاسبة على الهاتف؟
نعم. الحاسبة متجاوبة بالكامل وتعمل على Safari في iPhone وChrome في Android ومتصفحات الأجهزة اللوحية. تتكيّف خلايا الإدخال مع اللمس، ومفتاح Tab على لوحة المفاتيح البلوتوث أو زر الحقل التالي في لوحة مفاتيح الجوال ينتقل بين الخلايا بكفاءة. جميع العمليات الثماني متاحة على أي حجم شاشة دون تثبيت تطبيق.
Related tools
عرض كل الأدوات
جديد محوّل JSON ⇄ CSV
حوّل مصفوفة JSON إلى CSV وCSV إلى JSON، مع وضع علامات الاقتباس بشكل صحيح.
جديد منسّق XML
جمّل XML وصغّره وتحقّق منه مباشرة داخل متصفحك.
جديد منسّق SQL
جمّل استعلامات SQL وصغّرها مع ضبط حالة الكلمات المفتاحية وفصل الجُمل.
جديد JSON إلى TypeScript
أنشئ واجهات TypeScript من عيّنة JSON، مع الأنواع المتداخلة.
جديد عارض CSV
اعرض ملفات CSV أو TSV ورتّبها وابحث فيها كجدول نظيف — داخل متصفحك.
جديد Statistics Calculator
Calculate mean, median, mode, standard deviation, variance and more from a data set.