Matrix Calculator

Die Multiplikation A × B ist nur definiert, wenn die Spaltenanzahl von A gleich der Zeilenanzahl von B ist. Wenn A m×n und B n×p ist, ist das Ergebnis C m×p. Jedes Element C(i,j) ist das Skalarprodukt der Zeile i von A mit der Spalte j von B. Beachten Sie, dass Matrizenmultiplikation im Allgemeinen nicht kommutativ ist — A×B und B×A sind unterschiedliche Ergebnisse, und B×A ist möglicherweise gar nicht definiert, wenn die Dimensionen in dieser Reihenfolge nicht übereinstimmen.

Für eine 2×2-Matrix [[a,b],[c,d]] gilt: det = ad − bc. Für 3×3- oder 4×4-Matrizen verwendet der Rechner die Kofaktorentwicklung entlang der ersten Zeile: det(A) = Σⱼ A(1,j) × (−1)^(1+j) × det(Mⱼ), wobei Mⱼ der Minor ist (die Untermatrix ohne Zeile 1 und Spalte j). Die Determinante ist genau dann null, wenn die Matrix singulär (nicht invertierbar) ist. Der Lösungsweg wird für alle Determinantenberechnungen angezeigt.

Eine Inverse existiert genau dann, wenn die Matrix quadratisch (n×n) ist und eine von null verschiedene Determinante hat. Die Inverse A⁻¹ erfüllt A × A⁻¹ = A⁻¹ × A = I (die Einheitsmatrix). Wenn det(A) = 0 ist, wird die Matrix singulär genannt und hat keine Inverse — der Rechner prüft die Determinante vor dem Inversionsversuch und meldet einen klaren Fehler für singuläre Matrizen. Nicht-quadratische Matrizen haben niemals Inverse.

RREF transformiert eine Matrix in eine kanonische Form, bei der: (1) das erste Nicht-Null-Element jeder Nicht-Null-Zeile (der Pivot) gleich 1 ist, (2) jeder Pivot strikt rechts vom Pivot der darüber liegenden Zeile steht, (3) jedes Element ober- und unterhalb eines Pivots gleich 0 ist, und (4) alle Null-Zeilen am Ende stehen. RREF wird verwendet, um lineare Gleichungssysteme zu lösen, den Matrixrang zu ermitteln, die Lösungskonsistenz zu bestimmen und Nullräume zu berechnen. Jede Matrix hat eine eindeutige RREF.

Richten Sie Ihre 3×3-Koeffizientenmatrix als Matrix A ein und stellen Sie die Dimensionen auf 3 Zeilen × 4 Spalten ein, um die Konstanten als 4. Spalte (erweiterte Matrix) einzuschließen. Geben Sie die Koeffizienten und Konstanten ein und klicken Sie auf RREF(A). Lesen Sie die Lösung aus der letzten Spalte des RREF-Ergebnisses — die Werte in den Zeilen 1, 2, 3 der letzten Spalte sind die Werte von x, y, z. Fehlt in einer Zeile ein Pivot, hat das System unendlich viele oder keine Lösungen.

Im Gegensatz zur skalaren Multiplikation ist die Matrizenmultiplikation nicht kommutativ: AB ≠ BA im Allgemeinen. Geometrisch gesehen wendet AB zuerst B und dann A an, während BA zuerst A und dann B anwendet — mit unterschiedlichen Endergebnissen. Diese Nicht-Kommutativität ist grundlegend für die lineare Algebra und erklärt, warum die Reihenfolge der Matrizenoperationen in Gleichungen sorgfältig behandelt werden muss.

Ja. Der Rechner ist vollständig responsiv und funktioniert auf iPhone Safari, Android Chrome und Tablet-Browsern. Die Eingabezellen passen sich für Touch-Bedienung an, und die Tab-Taste auf einer Bluetooth-Tastatur oder die Weiter-Taste auf der mobilen Tastatur wechselt effizient zwischen den Zellen. Alle acht Operationen sind auf jeder Bildschirmgröße ohne App-Installation verfügbar.