Quadratic Equation Solver

Die Lösungsformel liefert die zwei Nullstellen jeder Gleichung der Form ax² + bx + c = 0 (mit a ≠ 0): x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). Das ±-Symbol bedeutet, dass man sowohl x₁ = (−b + √(b² − 4ac)) / (2a) als auch x₂ = (−b − √(b² − 4ac)) / (2a) berechnet. Diese Formel — in Deutschland oft als Mitternachtsformel oder abc-Formel bezeichnet — funktioniert immer, unabhängig davon, ob die Nullstellen reelle ganze Zahlen, irrationale Zahlen oder komplexe Zahlen sind, und ist damit die universellste Methode zur Lösung quadratischer Gleichungen.

Die Diskriminante ist Δ = b² − 4ac, der Ausdruck unter der Quadratwurzel. Ist Δ > 0, gibt es zwei verschiedene reelle Nullstellen und die Parabel schneidet die x-Achse zweimal. Ist Δ = 0, gibt es genau eine doppelte reelle Nullstelle — die Parabel berührt die x-Achse genau im Scheitelpunkt. Ist Δ < 0, sind beide Nullstellen konjugiert-komplex und die Parabel schneidet die x-Achse nicht. Das Vorzeichen der Diskriminante verrät alles über die Natur der Lösungen, bevor die Rechnung abgeschlossen ist — sie sollte immer als Erstes überprüft werden.

Schritt 1: Umformen, sodass eine Seite null ergibt: ax² + bx + c = 0. Schritt 2: a, b und c bestimmen. Schritt 3: Diskriminante berechnen: Δ = b² − 4ac. Schritt 4: Ist Δ ≥ 0, die Formel x = (−b ± √Δ) / (2a) anwenden, um zwei reelle Nullstellen zu finden. Ist Δ < 0, schreibe √Δ = i√|Δ| und drücke die Nullstellen als p ± qi aus, wobei p = −b/(2a) und q = √|Δ|/(2a). Dieser Rechner automatisiert jeden Schritt und zeigt den vollständigen Rechenweg, einschließlich der Zwischenwerte für Diskriminante und Nullstellenausdrücke.

Komplexe Nullstellen entstehen, wenn Δ < 0. Sie treten als konjugierte Paare auf: x = p ± qi, wobei i = √(−1), p = −b/(2a) der Realteil und q = √(|Δ|)/(2a) der Imaginärteil ist. Geometrisch bedeuten komplexe Nullstellen, dass die Parabel die x-Achse überhaupt nicht schneidet — sie liegt vollständig oberhalb der Achse, wenn a > 0, oder vollständig unterhalb, wenn a < 0. Obwohl sie im reellen Graphen nicht erscheinen, erfüllen komplexe Nullstellen weiterhin den Satz von Vieta für Summe und Produkt der Nullstellen.

Für y = ax² + bx + c liegt der Scheitelpunkt bei (h, k), wobei h = −b / (2a) und k = c − b² / (4a). Ist a > 0, ist der Scheitelpunkt der Tiefpunkt der Parabel; ist a < 0, ist er der Hochpunkt. Der Scheitelpunkt ist der wichtigste Punkt bei Optimierungsaufgaben — die Berechnung des maximalen Gewinns, der minimalen Kosten, der Maximalhöhe eines Wurfkörpers oder der maximalen eingeschlossenen Fläche bei festem Zaunumfang erfordert stets die Bestimmung des Scheitelpunkts. Dieser Rechner zeigt die Scheitelpunktkoordinaten automatisch.

Die Symmetrieachse ist die vertikale Gerade x = −b / (2a), die durch den Scheitelpunkt verläuft. Die Parabel ist auf beiden Seiten dieser Geraden ein perfektes Spiegelbild. Wenn zwei reelle Nullstellen existieren, liegen sie stets symmetrisch: Jede Nullstelle hat denselben horizontalen Abstand zur Symmetrieachse. Sind zum Beispiel die Nullstellen 1 und 5, liegt die Symmetrieachse bei x = 3. Dies bedeutet auch, dass die x-Koordinate der Symmetrieachse das arithmetische Mittel der beiden Nullstellen ist.

Der Satz von Vieta besagt, dass für ax² + bx + c = 0 die Summe der Nullstellen −b/a und das Produkt der Nullstellen c/a beträgt. Dies gilt auch für komplexe Nullstellen. Er bietet eine schnelle Überprüfungsmöglichkeit: Wenn die beiden berechneten Nullstellen nicht den Wert −b/a ergeben, ist ein Rechenfehler aufgetreten. Außerdem lässt sich damit eine quadratische Gleichung aus ihren Nullstellen aufbauen: Will man die Nullstellen r₁ und r₂ erzwingen, lautet die Gleichung a(x − r₁)(x − r₂) = 0, was zu ax² − a(r₁+r₂)x + a(r₁r₂) = 0 führt.

Ja — Faktorisieren ist schneller, wenn die Nullstellen kleine ganze Zahlen sind. Zum Beispiel lässt sich x² − 5x + 6 = 0 als (x − 2)(x − 3) = 0 faktorisieren, was die Nullstellen 2 und 3 liefert. Faktorisieren über den ganzen Zahlen ist jedoch nicht immer möglich, wenn die Nullstellen irrational oder komplex sind. Eine nützliche Strategie: Zuerst die Diskriminante prüfen — ist sie eine vollständige Quadratzahl, sind die Nullstellen rational und Faktorisieren ist praktikabel; andernfalls die Lösungsformel verwenden, die für beliebige Koeffizienten stets funktioniert.

UtiloKits Gleichungsrechner geht weiter als die meisten. CalculatorSoup zeigt den Lösungsweg und die Diskriminante, rendert aber keinen Graphen. RapidTables bietet einen einfachen Rechner ohne visuelle Ausgabe. Dieses Tool zeigt die vollständige Schritt-für-Schritt-Lösung, Diskriminantenanalyse, reelle und komplexe Nullstellen, Scheitelpunktkoordinaten, Symmetrieachse, y-Achsenabschnitt, Überprüfung mit dem Satz von Vieta und einen Live-SVG-Parabelgraphen — alles wird sofort beim Tippen aktualisiert, ohne Server-Anfrage.

Quadratische Gleichungen modellieren viele physikalische Phänomene: Wurfbewegung (h = v₀t − ½gt² ist quadratisch in der Zeit; Lösen nach t mit h = 0 ergibt die Landezeit), Wirtschaft (Gewinn P = −ax² + bx − c modelliert abnehmende Erträge; der Scheitelpunkt liefert die gewinnmaximierende Menge), Ingenieurwesen (Biegelinie von Trägern, LC-Schwingkreisresonanz) und Flächenprobleme (Maximierung einer eingeschlossenen Fläche bei festem Zaunumfang). Jede Beziehung, bei der eine Größe auf einen Höchstwert ansteigt und dann abfällt — oder ein Minimum hat — ist typischerweise quadratisch.

Ist a = 0, entartet die Gleichung von quadratisch zu linear: bx + c = 0. Ist b ≠ 0, lautet die einzige Lösung x = −c/b. Ist b = 0 und c = 0, ist die Gleichung 0 = 0 immer wahr (unendlich viele Lösungen). Ist b = 0 und c ≠ 0, ist die Gleichung c = 0 ein Widerspruch (keine Lösung). Dieser Rechner erkennt den Fall a = 0 und behandelt ihn korrekt, anstatt einen Division-durch-Null-Fehler zu erzeugen.

Der Rechner erfordert die Normalform ax² + bx + c = 0. Liegt die Gleichung in einer anderen Form vor — beispielsweise 2x² + 3 = 5x — muss sie zunächst umgeformt werden: 5x von beiden Seiten subtrahieren ergibt 2x² − 5x + 3 = 0, dann a=2, b=−5, c=3 eingeben. Ein häufiger Fehler ist das Verlieren von Vorzeichen beim Umstellen. Die umgeformte Gleichung sollte stets explizit aufgeschrieben werden, bevor a, b und c abgelesen werden.

Beides: Ja. Der Rechner läuft vollständig im Browser mit JavaScript — keine Server-Anfragen, keine Daten-Uploads, kein Konto erforderlich. Er funktioniert offline, sobald die Seite geladen ist. Anders als Wolfram Alpha, das die Gleichung an einen Cloud-Server sendet und Anfragen protokollieren kann, verbleibt hier alles auf dem eigenen Gerät. Koeffizienten, Gleichungen und Ergebnisse sind vollständig privat.