Quadratic Equation Solver

La formula quadratica fornisce le due radici di qualsiasi equazione nella forma ax² + bx + c = 0 (dove a ≠ 0): x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). Il simbolo ± significa che si calcolano sia x₁ = (−b + √(b² − 4ac)) / (2a) che x₂ = (−b − √(b² − 4ac)) / (2a). Questa formula funziona sempre indipendentemente dal fatto che le radici siano interi reali, numeri irrazionali o numeri complessi — rendendola il metodo più universale per risolvere le equazioni di secondo grado.

Il discriminante è Δ = b² − 4ac, l'espressione sotto la radice quadrata. Se Δ > 0, ci sono due radici reali distinte e la parabola interseca l'asse x in due punti. Se Δ = 0, c'è esattamente una radice reale doppia — la parabola tocca l'asse x solo nel suo vertice. Se Δ < 0, entrambe le radici sono complesse coniugate e la parabola non interseca mai l'asse x. Il segno del discriminante ti dice tutto sulla natura delle soluzioni prima di completare il calcolo — è la prima cosa da verificare.

Passo 1: Riarrangia in modo che un lato sia uguale a zero: ax² + bx + c = 0. Passo 2: Identifica a, b e c. Passo 3: Calcola il discriminante Δ = b² − 4ac. Passo 4: Se Δ ≥ 0, applica x = (−b ± √Δ) / (2a) per trovare le due radici reali. Se Δ < 0, scrivi √Δ = i√|Δ| ed esprimi le radici come p ± qi dove p = −b/(2a) e q = √|Δ|/(2a). Questo calcolatore automatizza ogni passaggio e mostra la soluzione completa, inclusi i valori intermedi del discriminante e le espressioni delle radici.

Le radici complesse si verificano quando Δ < 0. Si presentano in coppie coniugate: x = p ± qi, dove i = √(−1), p = −b/(2a) è la parte reale e q = √(|Δ|)/(2a) è la parte immaginaria. Geometricamente, le radici complesse significano che la parabola non interseca l'asse x — rimane interamente al di sopra se a > 0, o interamente al di sotto se a < 0. Nonostante non appaiano sul grafico reale, le radici complesse soddisfano comunque le formule di Vieta per la somma e il prodotto delle radici.

Per y = ax² + bx + c, il vertice si trova in (h, k) dove h = −b / (2a) e k = c − b² / (4a). Se a > 0, il vertice è il punto di minimo della parabola; se a < 0, è il punto di massimo. Il vertice è il punto più importante per i problemi di ottimizzazione — trovare il ricavo massimo, il costo minimo, l'altezza massima di un proiettile o la massima area recintata con una recinzione di lunghezza fissa richiede tutti l'identificazione del vertice. Questo calcolatore mostra automaticamente le coordinate del vertice.

L'asse di simmetria è la retta verticale x = −b / (2a) che passa per il vertice. La parabola è perfettamente speculare rispetto a questa retta. Quando esistono due radici reali, sono sempre poste simmetricamente: ogni radice è alla stessa distanza orizzontale dall'asse di simmetria. Ad esempio, se le radici sono 1 e 5, l'asse è in x = 3. Ciò significa anche che la coordinata x dell'asse è la media aritmetica delle due radici.

Le formule di Vieta affermano che per ax² + bx + c = 0, la somma delle radici è uguale a −b/a e il prodotto delle radici è uguale a c/a. Queste valgono anche per le radici complesse. Forniscono una rapida verifica: se le tue due radici calcolate non sommano a −b/a, hai commesso un errore aritmetico. Ti permettono anche di costruire un'equazione di secondo grado a partire dalle sue radici: se vuoi radici r₁ e r₂, l'equazione è a(x − r₁)(x − r₂) = 0, che si espande in ax² − a(r₁+r₂)x + a(r₁r₂) = 0.

Sì — la fattorizzazione è più veloce quando le radici sono piccoli interi. Ad esempio, x² − 5x + 6 = 0 si fattorizza in (x − 2)(x − 3) = 0, dando radici 2 e 3. Tuttavia, la fattorizzazione negli interi non è sempre possibile quando le radici sono irrazionali o complesse. Una strategia utile: controlla prima il discriminante — se è un quadrato perfetto, le radici sono razionali e la fattorizzazione è praticabile; altrimenti usa la formula quadratica, che funziona sempre con qualsiasi coefficiente.

Il risolutore quadratico di UtiloKit va oltre la maggior parte degli strumenti. CalculatorSoup mostra la soluzione passo per passo e il discriminante ma non visualizza il grafico. RapidTables fornisce un calcolatore di base senza output visivo. Questo strumento mostra la soluzione completa passo per passo, l'analisi del discriminante, sia le radici reali che quelle complesse, le coordinate del vertice, l'asse di simmetria, l'intersezione con l'asse y, la verifica con le formule di Vieta e un grafico SVG dinamico della parabola — tutto si aggiorna istantaneamente mentre si digita, senza richieste al server.

Le equazioni di secondo grado modellano molti fenomeni fisici: il moto dei proiettili (h = v₀t − ½gt² è quadratica nel tempo; risolvere per t quando h = 0 fornisce il tempo di atterraggio), l'economia (il profitto P = −ax² + bx − c modella i rendimenti decrescenti; il vertice fornisce la quantità che massimizza il profitto), l'ingegneria (deflessione delle travi, risonanza di circuiti LC) e i problemi di area (massimizzare l'area recintata con un perimetro fisso). Qualsiasi relazione in cui una quantità aumenta fino a un picco e poi diminuisce — o ha un minimo — è tipicamente quadratica.

Quando a = 0, l'equazione degenera da quadratica a lineare: bx + c = 0. Se b ≠ 0, l'unica soluzione è x = −c/b. Se b = 0 e c = 0, l'equazione 0 = 0 è sempre vera (infinite soluzioni). Se b = 0 e c ≠ 0, l'equazione c = 0 è una contraddizione (nessuna soluzione). Questo calcolatore rileva il caso a = 0 e lo gestisce correttamente invece di produrre un errore di divisione per zero.

Il risolutore richiede la forma standard ax² + bx + c = 0. Se la tua equazione è in una forma diversa — ad esempio 2x² + 3 = 5x — riarrangila prima: sottrai 5x da entrambi i lati per ottenere 2x² − 5x + 3 = 0, poi inserisci a=2, b=−5, c=3. Un errore comune è perdere i segni negativi quando si spostano i termini oltre il segno di uguale. Scrivi sempre esplicitamente l'equazione riarrangiata prima di leggere a, b e c.

Sì a entrambe le domande. Il calcolatore funziona interamente nel browser usando JavaScript — nessuna richiesta al server, nessun caricamento di dati e nessun account richiesto. Funziona offline una volta caricata la pagina. A differenza di Wolfram Alpha, che invia la tua equazione a un server remoto e può registrare le query, tutto qui rimane sul tuo dispositivo. I tuoi coefficienti, le equazioni e i risultati sono completamente privati.