Matrix Calculator

행렬 곱셈 A × B는 A의 열 수가 B의 행 수와 같을 때만 정의됩니다. A가 m×n이고 B가 n×p이면 결과 C는 m×p입니다. 각 원소 C(i,j)는 A의 i번째 행과 B의 j번째 열의 내적입니다. 행렬 곱셈은 일반적으로 교환 법칙이 성립하지 않습니다——A×B와 B×A는 서로 다른 결과이며, 크기가 그 순서에서 맞지 않으면 B×A가 정의조차 되지 않을 수 있습니다.

2×2 행렬 [[a,b],[c,d]]의 경우 det = ad − bc입니다. 3×3 또는 4×4 행렬의 경우 계산기는 첫 번째 행을 따라 여인수 전개를 사용합니다: det(A) = Σⱼ A(1,j) × (−1)^(1+j) × det(Mⱼ)（Mⱼ는 1행과 j열을 제거한 소행렬식). 행렬식은 행렬이 특이(가역이 아님)인 경우에만 0이 됩니다. 모든 행렬식 계산에서 단계별 풀이가 표시됩니다.

역행렬은 행렬이 정방행렬(n×n)이고 행렬식이 0이 아닌 경우에만 존재합니다. 역행렬 A⁻¹은 A × A⁻¹ = A⁻¹ × A = I(단위행렬)를 만족합니다. det(A) = 0이면 행렬은 특이행렬이라 불리며 역행렬이 존재하지 않습니다——계산기는 역행렬 계산을 시도하기 전에 행렬식을 확인하고 특이행렬에 대해 명확한 오류를 표시합니다. 정방행렬이 아닌 행렬에는 역행렬이 존재하지 않습니다.

RREF는 행렬을 표준 형식으로 변환합니다: (1) 각 비영 행의 첫 번째 비영 원소(피벗)는 1이고, (2) 각 피벗은 위 행의 피벗보다 엄격히 오른쪽에 있으며, (3) 피벗의 위아래 원소는 모두 0이고, (4) 영 행은 모두 맨 아래에 있습니다. RREF는 연립방정식 풀기, 행렬의 계수 구하기, 해의 일관성 판단, 영공간 계산에 사용됩니다. 각 행렬의 RREF는 유일합니다.

3×3 계수행렬을 행렬 A로 설정하고 크기를 3행×4열로 하여 상수항을 4번째 열(첨가행렬)로 포함합니다. 계수와 상수를 입력한 후 RREF(A)를 클릭합니다. RREF 결과의 마지막 열에서 해를 읽습니다——마지막 열의 1, 2, 3행 값이 각각 x, y, z의 값입니다. 어떤 행에 피벗이 없으면 연립방정식에 무한히 많은 해 또는 해가 없습니다.

스칼라 곱셈과 달리 행렬 곱셈은 일반적으로 교환 법칙이 성립하지 않습니다: AB ≠ BA. 기하학적으로 A와 B가 각각 선형 변환(회전, 스케일링, 전단)을 나타낸다면 AB는 B를 먼저 적용하고 A를 적용하지만, BA는 A를 먼저 적용하고 B를 적용하여 최종 위치가 달라집니다. 이 비교환성은 선형대수학의 근본이며 방정식에서 행렬 연산의 순서를 신중하게 처리해야 하는 이유입니다.

네. 이 계산기는 완전히 반응형이며 iPhone Safari, Android Chrome, 태블릿 브라우저에서 작동합니다. 입력 셀은 터치를 위해 크기가 조정되며, 블루투스 키보드의 Tab 키나 모바일 키보드의 다음 필드 버튼으로 셀 사이를 효율적으로 이동할 수 있습니다. 8가지 연산 모두 앱 설치 없이 어떤 화면 크기에서도 사용 가능합니다.