GCF & LCM Calculator

O Máximo Divisor Comum (MDC) — também chamado de Máximo Fator Comum ou Maior Divisor Comum — é o maior número que divide exatamente todos os números dados sem deixar resto. Para 12 e 18: os divisores de 12 são 1,2,3,4,6,12; os divisores de 18 são 1,2,3,6,9,18; os divisores comuns são 1,2,3,6; o maior é 6. MDC(12,18) = 6. O MDC é utilizado para simplificar frações à forma irredutível — divide-se o numerador e o denominador pelo seu MDC.

O Mínimo Múltiplo Comum (MMC) é o menor número em que todos os números dados cabem exatamente. Para 4 e 6: os múltiplos de 4 são 4,8,12,16,20,24…; os múltiplos de 6 são 6,12,18,24…; os múltiplos comuns são 12,24,36…; o menor é 12. MMC(4,6) = 12. O MMC é utilizado para encontrar o denominador comum ao somar ou subtrair frações — o novo denominador é o MMC dos denominadores originais.

O algoritmo de Euclides encontra MDC(a,b) por divisões sucessivas: MDC(48,18) → 48 ÷ 18 = 2 com resto 12 → MDC(18,12): 18 ÷ 12 = 1 com resto 6 → MDC(12,6): 12 ÷ 6 = 2 com resto 0 → MDC = 6. O algoritmo termina quando o resto é 0; o último resto não nulo é o MDC. Este método é muito mais rápido do que listar todos os divisores para números grandes e é o algoritmo utilizado por esta calculadora. Foi descrito por Euclides por volta de 300 a.C. e continua a ser um dos algoritmos mais eficientes da matemática.

Fatoriza-se cada número em primos, toma-se a potência mais alta de cada primo que aparece em qualquer fatorização e multiplicam-se. MMC(12, 18): 12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3². Tomam-se 2² e 3²: MMC = 4 × 9 = 36. O MDC usa a potência mais baixa de cada primo comum. A relação MDC × MMC = a × b é válida para quaisquer dois números — portanto, se se conhece o MDC, pode calcular-se o MMC como MMC(a,b) = (a × b) ÷ MDC(a,b).

Para quaisquer dois inteiros positivos a e b: MDC(a,b) × MMC(a,b) = a × b. Exemplo: MDC(12,18) = 6, MMC(12,18) = 36, e 6 × 36 = 216 = 12 × 18. Esta relação é útil: se já se tem um dos valores, pode calcular-se o outro sem repetir a fatorização completa. A identidade também demonstra que, se MDC(a,b) = 1 (os números são coprimos), então MMC(a,b) = a × b.

Aplica-se a operação de forma encadeada: MDC(a,b,c) = MDC(MDC(a,b),c). MMC(a,b,c) = MMC(MMC(a,b),c). Para MDC(12,18,24): MDC(12,18) = 6, depois MDC(6,24) = 6. Para MMC(4,6,8): MMC(4,6) = 12, depois MMC(12,8) = 24. Esta ferramenta suporta até 10 números de uma só vez, encadeando a operação automaticamente — basta clicar em '+ Adicionar número' para adicionar mais campos. O Wolfram Alpha também suporta MDC/MMC com múltiplos números, mas obriga a navegar pela sua interface de pesquisa; o Mathway exige uma conta paga para mostrar os passos com mais de dois números.

Para simplificar uma fração à forma irredutível, divide-se o numerador e o denominador pelo seu MDC. Exemplo: simplificar 24/36. MDC(24,36) = 12. 24 ÷ 12 = 2, 36 ÷ 12 = 3. A fração simplificada é 2/3. Uma fração está na forma irredutível quando MDC(numerador, denominador) = 1, ou seja, o numerador e o denominador não têm nenhum fator comum além de 1.

Para somar frações com denominadores diferentes, convertem-se ambas para frações equivalentes com o mesmo denominador — o MMC dos denominadores originais. Exemplo: 1/4 + 1/6. MMC(4,6) = 12. Conversão: 1/4 = 3/12, 1/6 = 2/12. Soma = 3/12 + 2/12 = 5/12. Usar o MMC (em vez do produto) mantém os números o mais pequenos possível e evita ter de simplificar depois.

MDC (Máximo Divisor Comum) e MMC (Mínimo Múltiplo Comum) são conceitos matemáticos diferentes e complementares, não sinónimos. O MDC é o maior número que divide todos os dados; o MMC é o menor número que é múltiplo de todos os dados. Em alguns países e currículos, o MDC também é designado por MFC (Máximo Fator Comum) ou, em inglês, GCF/GCD/HCF — referem-se todos ao mesmo conceito. Esta calculadora computa ambos simultaneamente.

Sim. Os campos numéricos ativam automaticamente o teclado numérico no telemóvel, sem necessidade de mudar o modo do teclado manualmente. Adicione até 10 números e o MDC e o MMC calculam-se instantaneamente com os passos detalhados apresentados. Funciona no Safari do iPhone, no Chrome do Android, no Firefox e em todos os browsers móveis modernos. Não é necessário instalar nenhuma aplicação, criar conta ou fazer upload de ficheiros. A página também funciona offline depois de ter sido carregada — útil para estudar sem acesso fiável à internet.