Matrix Calculator

A multiplicação A × B está definida apenas quando o número de colunas de A é igual ao número de linhas de B. Se A é m×n e B é n×p, o resultado C é m×p. Cada elemento C(i,j) é o produto escalar da linha i de A com a coluna j de B. Note que a multiplicação de matrizes geralmente não é comutativa — A×B e B×A são resultados diferentes, e B×A pode nem sequer estar definida se as dimensões não coincidirem nessa ordem.

Para uma matriz 2×2 [[a,b],[c,d]], det = ad − bc. Para matrizes 3×3 ou 4×4, a calculadora utiliza expansão por cofactores ao longo da primeira linha: det(A) = Σⱼ A(1,j) × (−1)^(1+j) × det(Mⱼ), onde Mⱼ é o menor (a submatriz com a linha 1 e a coluna j removidas). O determinante é zero se e só se a matriz é singular (não invertível). O procedimento passo a passo é apresentado para todos os cálculos de determinantes.

Uma inversa existe se e só se a matriz é quadrada (n×n) e tem um determinante não nulo. A inversa A⁻¹ satisfaz A × A⁻¹ = A⁻¹ × A = I (a matriz identidade). Se det(A) = 0, a matriz é chamada singular e não tem inversa — a calculadora verifica o determinante antes de tentar a inversão e reporta um erro claro para matrizes singulares. As matrizes não quadradas nunca têm inversas.

A RREF transforma uma matriz numa forma canónica onde: (1) o primeiro elemento não nulo de cada linha não nula (o pivô) é 1, (2) cada pivô está estritamente à direita do pivô da linha anterior, (3) cada elemento acima e abaixo de um pivô é 0, e (4) todas as linhas nulas estão no final. A RREF é usada para resolver sistemas de equações lineares, encontrar o posto da matriz, determinar a consistência da solução e calcular espaços nulos. Cada matriz tem uma RREF única.

Configure a sua matriz de coeficientes 3×3 como Matriz A e defina as dimensões para 3 linhas × 4 colunas para incluir as constantes como 4.ª coluna (a matriz aumentada). Introduza os coeficientes e as constantes e clique em RREF(A). Leia a solução na coluna final do resultado RREF — os valores nas linhas 1, 2, 3 da última coluna são os valores de x, y, z respetivamente. Se faltar um pivô numa linha, o sistema tem infinitas soluções ou não tem solução.

Ao contrário da multiplicação escalar, a multiplicação de matrizes não é comutativa: AB ≠ BA em geral. Geometricamente, se A e B representam transformações lineares, AB aplica primeiro B e depois A, enquanto BA aplica primeiro A e depois B — produzindo posições finais diferentes. Esta não-comutatividade é fundamental para a álgebra linear e explica por que a ordem das operações matriciais nas equações deve ser tratada com cuidado.

Sim. A calculadora é totalmente responsiva e funciona no Safari do iPhone, Chrome do Android e browsers de tablet. As células de entrada redimensionam-se para toque, e a tecla Tab num teclado Bluetooth ou o botão de campo seguinte no teclado móvel move-se entre células eficientemente. As oito operações estão disponíveis em qualquer tamanho de ecrã sem instalar uma aplicação.