Number Sequence Generator

Numa sequência aritmética, os termos consecutivos diferem de uma constante chamada razão (d). Numa geométrica, têm uma razão constante (r): cada termo é o anterior multiplicado por r. Exemplo: 2, 5, 8, 11 é aritmética (d = 3); 2, 6, 18, 54 é geométrica (r = 3). As aritméticas crescem linearmente e as geométricas exponencialmente.

O termo geral é aₙ = a₁ + (n − 1) × d. Por exemplo, em 3, 7, 11, 15 (a₁ = 3, d = 4), o 10.º termo é 3 + (10 − 1) × 4 = 39. Esta fórmula permite saltar directamente para qualquer termo sem listar os anteriores.

A soma dos primeiros n termos é Sₙ = n/2 × (a₁ + aₙ) = n/2 × (2a₁ + (n−1)d). Gauss usou esta fórmula em criança para somar todos os inteiros de 1 a 100: S = 100/2 × (1 + 100) = 5050.

O termo geral é aₙ = a₁ × r^(n − 1). Em 5, 10, 20, 40 (a₁ = 5, r = 2), o 8.º termo é 5 × 2⁷ = 640. Quando |r| > 1 os termos crescem sem limite; quando 0 < |r| < 1 decrescem para zero.

Para uma série finita: Sₙ = a₁ × (1 − rⁿ) / (1 − r) com r ≠ 1. Para uma série infinita, se |r| < 1 converge para S∞ = a₁ / (1 − r); se |r| ≥ 1 diverge. As fórmulas de valor actual de rendas e perpetuidades são aplicações directas.

É definida por F₁ = 1, F₂ = 1 e Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89. Aparece na natureza (espirais de girassol, conchas de nautilo) e em informática. Pode também alterar os valores iniciais para explorar variantes como os números de Lucas (2, 1, 3, 4, 7, 11…).

A razão áurea φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,61803. À medida que a sequência de Fibonacci cresce, a razão Fₙ₊₁/Fₙ converge rapidamente para φ: F₁₀/F₉ = 55/34 ≈ 1,6176. φ satisfaz φ² = φ + 1.

Começa-se com um array onde todos os inteiros de 2 a n estão marcados como primos. Para cada primo não marcado p, marcam-se os seus múltiplos como compostos (a partir de p²). Para-se quando p² > n. O algoritmo tem complexidade O(n log log n) e gera até 500 primos ou todos os primos em intervalos até 1.000.000 em milissegundos.

O n-ésimo número triangular é Tₙ = n(n+1)/2, representando o número de pontos num triângulo equilátero com n filas. A sequência é 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36. Use o separador Fórmula personalizada com a expressão n*(n+1)/2 para os gerar.

Sim. No separador Fórmula personalizada, introduza qualquer expressão matemática usando n como variável. Operadores suportados: +, −, *, /, ^ (potência). Funções: sqrt, abs, floor, ceil, round, sin, cos, log. Exemplos: n^2 para quadrados perfeitos, 2^n para potências de dois, n*(n+1)/2 para números triangulares.

Identifique primeiro se a sequência é aritmética (diferença constante), geométrica (razão constante) ou de outro tipo. Para aritmética calcule a diferença entre dois termos consecutivos (isso é d). Para geométrica calcule o quociente (isso é r). Se nenhuma é constante, verifique as segundas diferenças (as sequências quadráticas têm segundas diferenças constantes).

Uma sequência é uma lista ordenada de números: 2, 4, 6, 8, 10. Uma série é a soma dos termos: 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30 (soma parcial dos primeiros 5 termos). Esta calculadora calcula ambas: a sequência e a soma parcial Sₙ.

Quadrados perfeitos são inteiros que são o quadrado de outro inteiro: 1, 4, 9, 16, 25, 36… (n²). Cubos perfeitos são o cubo de outro inteiro: 1, 8, 27, 64, 125… (n³). Use o separador Quadrados e cubos para gerar ambas as sequências em paralelo.

Cada cartão de resultado inclui um botão «Copiar sequência» que copia os valores separados por vírgulas para a área de transferência. Pode colá-los directamente no Excel, Google Sheets, uma lista Python ou qualquer outra ferramenta.

Sim. É uma aplicação web totalmente responsiva que funciona no Safari (iPhone), Chrome (Android) e qualquer browser moderno. Todos os cálculos são feitos no browser com JavaScript, sem enviar dados para nenhum servidor. Sem download, sem registo, sem limites.