Quadratic Equation Solver

A fórmula resolvente fornece as duas raízes de qualquer equação na forma ax² + bx + c = 0 (com a ≠ 0): x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a). O símbolo ± significa que se calculam x₁ = (−b + √(b² − 4ac)) / (2a) e x₂ = (−b − √(b² − 4ac)) / (2a). Esta fórmula funciona sempre, independentemente de as raízes serem inteiros reais, números irracionais ou números complexos — tornando-a o método mais universal para resolver equações do 2.º grau.

O discriminante é Δ = b² − 4ac, a expressão sob o radical. Se Δ > 0, existem duas raízes reais distintas e a parábola cruza o eixo dos x duas vezes. Se Δ = 0, existe exatamente uma raiz real dupla — a parábola toca o eixo dos x apenas no vértice. Se Δ < 0, ambas as raízes são complexas conjugadas e a parábola nunca cruza o eixo dos x. Conhecer o sinal do discriminante revela tudo sobre a natureza das soluções antes de concluir o cálculo — é a primeira coisa a verificar.

Passo 1: Reorganize a equação de modo a que um lado seja igual a zero: ax² + bx + c = 0. Passo 2: Identifique a, b e c. Passo 3: Calcule o discriminante Δ = b² − 4ac. Passo 4: Se Δ ≥ 0, aplique x = (−b ± √Δ) / (2a) para encontrar duas raízes reais. Se Δ < 0, escreva √Δ = i√|Δ| e expresse as raízes como p ± qi, onde p = −b/(2a) e q = √|Δ|/(2a). Esta calculadora automatiza todos os passos e mostra o desenvolvimento completo, incluindo os valores intermédios do discriminante e as expressões das raízes.

As raízes complexas ocorrem quando Δ < 0. Surgem em pares conjugados: x = p ± qi, onde i = √(−1), p = −b/(2a) é a parte real e q = √(|Δ|)/(2a) é a parte imaginária. Geometricamente, raízes complexas significam que a parábola não interseta o eixo dos x — fica completamente acima se a > 0, ou completamente abaixo se a < 0. Apesar de não aparecerem no gráfico real, as raízes complexas satisfazem as fórmulas de Vieta para a soma e o produto das raízes.

Para y = ax² + bx + c, o vértice está em (h, k), onde h = −b / (2a) e k = c − b² / (4a). Se a > 0, o vértice é o ponto mínimo da parábola; se a < 0, é o ponto máximo. O vértice é o ponto mais importante nos problemas de otimização — encontrar a receita máxima, o custo mínimo, a altura máxima de um projétil ou a área máxima vedada com um perímetro fixo implica sempre identificar o vértice. Esta calculadora apresenta as coordenadas do vértice automaticamente.

O eixo de simetria é a reta vertical x = −b / (2a) que passa pelo vértice. A parábola é uma imagem perfeitamente simétrica de ambos os lados desta reta. Quando existem duas raízes reais, estão sempre colocadas de forma simétrica: cada raiz fica à mesma distância horizontal do eixo de simetria. Por exemplo, se as raízes são 1 e 5, o eixo está em x = 3. Isto também significa que a abcissa do eixo é a média aritmética das duas raízes.

As fórmulas de Vieta estabelecem que, para ax² + bx + c = 0, a soma das raízes é igual a −b/a e o produto das raízes é igual a c/a. Estas relações são válidas mesmo para raízes complexas. Constituem uma verificação rápida: se as duas raízes calculadas não somam −b/a, cometeu um erro aritmético. Permitem também construir uma equação do 2.º grau a partir das suas raízes: para raízes r₁ e r₂, a equação é a(x − r₁)(x − r₂) = 0, desenvolvendo para ax² − a(r₁+r₂)x + a(r₁r₂) = 0.

Sim — a fatoração é mais rápida quando as raízes são inteiros pequenos. Por exemplo, x² − 5x + 6 = 0 fatora em (x − 2)(x − 3) = 0, dando as raízes 2 e 3. No entanto, a fatoração nos inteiros nem sempre é possível quando as raízes são irracionais ou complexas. Uma estratégia útil: verifique primeiro o discriminante — se for um quadrado perfeito, as raízes são racionais e a fatoração é prática; caso contrário, use a fórmula resolvente, que funciona sempre para quaisquer coeficientes.

A calculadora de equações do 2.º grau da UtiloKit vai mais longe do que a maioria. A CalculatorSoup mostra o desenvolvimento passo a passo e o discriminante, mas não apresenta gráfico. A RapidTables disponibiliza uma calculadora básica sem saída visual. Esta ferramenta apresenta a solução passo a passo completa, análise do discriminante, raízes reais e complexas, coordenadas do vértice, eixo de simetria, ordenada na origem, verificação pelas fórmulas de Vieta e um gráfico SVG da parábola em tempo real — tudo a atualizar instantaneamente enquanto escreve, sem qualquer pedido ao servidor.

As equações do 2.º grau modelam muitos fenómenos físicos: movimento de projéteis (h = v₀t − ½gt² é quadrática no tempo; resolver em ordem a t quando h = 0 dá o instante de aterragem), economia (o lucro P = −ax² + bx − c modela os rendimentos decrescentes; o vértice indica a quantidade que maximiza o lucro), engenharia (deflexão de vigas, ressonância de circuitos LC) e problemas de área (maximizar a área vedada com um perímetro de vedação fixo). Qualquer relação em que uma grandeza aumenta até um máximo e depois diminui — ou tem um mínimo — é tipicamente quadrática.

Quando a = 0, a equação degenera de quadrática para linear: bx + c = 0. Se b ≠ 0, a solução única é x = −c/b. Se b = 0 e c = 0, a equação 0 = 0 é sempre verdadeira (infinitas soluções). Se b = 0 e c ≠ 0, a equação c = 0 é uma contradição (sem solução). Esta calculadora deteta o caso a = 0 e trata-o corretamente, em vez de produzir um erro de divisão por zero.

A calculadora requer a forma geral ax² + bx + c = 0. Se a sua equação estiver numa forma diferente — por exemplo 2x² + 3 = 5x — reorganize-a primeiro: subtraia 5x de ambos os membros para obter 2x² − 5x + 3 = 0, e introduza a=2, b=−5, c=3. Um erro comum é perder os sinais negativos ao transpor termos para o outro membro. Escreva sempre explicitamente a equação reorganizada antes de identificar a, b e c.

Sim, em ambos os casos. A calculadora corre inteiramente no seu navegador em JavaScript — sem pedidos ao servidor, sem envio de dados e sem necessidade de conta. Funciona offline assim que a página tiver sido carregada. Ao contrário do Wolfram Alpha, que envia a sua equação para um servidor remoto e pode registar as consultas, tudo aqui permanece no seu dispositivo. Os seus coeficientes, equações e resultados são completamente privados.