Number Sequence Generator

等差数列中连续项相差一个称为公差（d）的常数。等比数列中连续项有一个恒定比值（r）：每项等于前一项乘以r。例如：2, 5, 8, 11是等差数列（d = 3）；2, 6, 18, 54是等比数列（r = 3）。等差数列线性增长，等比数列指数增长。

第n项为aₙ = a₁ + (n − 1) × d。例如在3, 7, 11, 15中（a₁ = 3，d = 4），第10项 = 3 + (10 − 1) × 4 = 39。

前n项之和为Sₙ = n/2 × (a₁ + aₙ) = n/2 × (2a₁ + (n−1)d)。高斯10岁时就用这个公式计算了1到100的和：S = 100/2 × (1 + 100) = 5050。

第n项为aₙ = a₁ × r^(n − 1)。在5, 10, 20, 40中（a₁ = 5，r = 2），第8项 = 5 × 2⁷ = 640。当|r| > 1时项无界增长；当0 < |r| < 1时项趋向零。

有限级数：Sₙ = a₁ × (1 − rⁿ) / (1 − r)，r ≠ 1。无穷级数，当|r| < 1时收敛到S∞ = a₁ / (1 − r)；当|r| ≥ 1时发散。年金和永续年金的现值公式是其直接应用。

由F₁ = 1，F₂ = 1，Fₙ = Fₙ₋₁ + Fₙ₋₂定义：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89。出现在自然界（向日葵螺旋、鹦鹉螺贝壳）和计算机科学中。可更改初始值探索卢卡斯数（2, 1, 3, 4, 7, 11…）等变体。

黄金比例φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1.61803。随着斐波那契数列增长，Fₙ₊₁/Fₙ迅速收敛于φ：F₁₀/F₉ = 55/34 ≈ 1.6176。φ满足φ² = φ + 1。

从将2到n的所有整数标记为质数开始。对每个未标记的质数p，从p²起将其所有倍数标记为合数。当p² > n时停止。算法复杂度O(n log log n)，可在毫秒内生成500个质数或100万范围内的所有质数。

第n个三角数为Tₙ = n(n+1)/2，表示n行等边三角形排列中的点数。数列为1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36。在自定义公式标签中使用表达式n*(n+1)/2生成。

可以。在自定义公式标签中，输入以n为变量的任意数学表达式。支持的运算符：+、−、*、/、^（幂）。函数：sqrt、abs、floor、ceil、round、sin、cos、log。例如：n^2生成完全平方数，2^n生成2的幂次，n*(n+1)/2生成三角数。

首先判断数列是等差（公差恒定）、等比（公比恒定）还是其他类型。等差：计算连续项之差（即d）。等比：计算相邻项之比（即r）。如果两者都不恒定，检查二阶差分（二次数列有恒定的二阶差分）。

数列是有序的数字列表：2, 4, 6, 8, 10。级数是各项之和：2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30（前5项的部分和）。本计算器两者都能计算：数列（项的列表）和部分和Sₙ。

完全平方数是某整数的平方：1, 4, 9, 16, 25, 36…（n²）。完全立方数是某整数的立方：1, 8, 27, 64, 125…（n³）。使用平方与立方标签并排生成两个数列。

每个结果卡片都有"复制数列"按钮，点击即可将逗号分隔的值复制到剪贴板。可以直接粘贴到Excel、Google Sheets、Python列表或任何其他工具中。

可以。这是一个完全响应式的网页应用，适用于Safari（iPhone）、Chrome（Android）和任何现代浏览器。所有计算都在浏览器中用JavaScript本地执行，不向任何服务器发送数据。无需下载，无需注册，无限制。