Quadratic Equation Solver
新Solve ax² + bx + c = 0 and get real or complex roots with the discriminant and working shown.
Solve ax² + bx + c = 0
Enter the three coefficients — results update instantly
Parabola Graph
Red dot = vertex, blue dots = x-intercepts, green dot = y-intercept
Runs entirely in your browser. Nothing is uploaded.
什麼是二次公式？
二次方程式是指最高次數為 2 的多項式方程式，標準形式為 ax² + bx + c = 0，其中 a、b、c 為實數係數且 a ≠ 0。「二次」（quadratic）一詞源自拉丁文 quadratus，意為「平方」，因為未知數的最高冪次為 2。根據代數基本定理，每個二次方程式在複數系統中恰好有兩個根（含重根）。
二次公式 x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a) 提供了一種通用的封閉式解法，可求出方程式的所有根。只需從方程式中辨識出 a、b、c，代入公式，分別計算加號與減號兩種情況即可。本計算機將自動完成每個步驟——計算判別式、求平方根、輸出根的表達式——並完整呈現逐步計算過程。
認識判別式
判別式 Δ = b² − 4ac 是二次公式中最具代表性的量，因為它在計算完成之前就能告訴你解的完整性質。Δ > 0：兩個相異實數根，拋物線與 x 軸有兩個交點。Δ = 0：恰好一個重實數根，拋物線頂點與 x 軸相切。Δ < 0：兩個共軛複數根，拋物線完全浮於 x 軸上方或下方。
在實際應用中，判別式的正負號具有直接的物理意義。以拋射體高度方程式 h(t) = −4.9t² + v₀t + h₀ 為例（此為台灣物理課常用形式）：Δ > 0 表示物體在某高度出現兩次（上升與下降各一次）；Δ = 0 表示物體恰好在頂點碰觸該高度；Δ < 0 表示物體從未到達該高度。理解判別式能讓公式從機械性步驟轉化為強而有力的分析工具。
拋物線幾何——頂點、截距與對稱性
y = ax² + bx + c 的圖形恆為一條拋物線。當 a > 0 時開口朝上（U 形），有最小值；當 a < 0 時開口朝下（∩ 形），有最大值。位於 (−b/2a, c − b²/4a) 的頂點是轉折點，在最佳化問題中至關重要。對稱軸 x = −b/2a 將拋物線分成兩個鏡像半部。y 軸截距恆為 (0, c)。x 軸截距即為實數根（若存在）。
本計算機會即時繪製 SVG 圖形：頂點標示為紅色，實數 x 截距標示為藍色，y 截距標示為綠色。每當你更改 a、b 或 c，圖形即時更新——讓你輕鬆建立對各係數如何影響拋物線形狀的幾何直覺。
如何使用本二次方程式求解器
在三個輸入欄位中分別輸入 a、b、c，結果即時更新。請確認方程式已整理為標準形式 ax² + bx + c = 0，再讀取各係數值（如需要請先移項）。求解器將顯示：判別式及其正負號、完整的逐步公式計算過程、兩個根（實數或複數）、頂點座標、對稱軸、y 截距、韋達定理驗證，以及即時拋物線圖形。
求解二次方程式共有四種方法：因式分解（適合整數根，速度快）、配方法（系統化，永遠有效）、二次公式（最通用——適用於所有係數類型與根的類型）、圖形法（直觀但近似）。對大多數實際用途而言，二次公式是首選方法，本求解器正是以完整精確度與逐步呈現的方式實作此方法。
UtiloKit vs CalculatorSoup、RapidTables 與 Wolfram Alpha
大多數線上二次方程計算機只提供部分功能。CalculatorSoup 可顯示逐步計算過程與判別式，但不提供圖形。RapidTables 提供基本計算機，無視覺化輸出。Wolfram Alpha 功能最齊全，但會將你的方程式傳送至雲端伺服器，需輸入特定查詢格式，對基本使用而言過於複雜。
UtiloKit 的求解器對大多數學生與工程師而言是最快速的選擇：輸入時即時顯示結果（無需按提交鍵）、完整輸出包含頂點與韋達定理，以及即時圖形，且全程在瀏覽器本機執行，不上傳任何資料，無需帳號。對於作業驗算、考試練習和工程計算，這是深度與速度之間最佳的平衡點。
Frequently asked questions
什麼是二次公式？
二次公式能求出任何形如 ax² + bx + c = 0（其中 a ≠ 0）的方程式的兩個根：x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)。± 符號表示需分別計算 x₁ = (−b + √(b² − 4ac)) / (2a) 與 x₂ = (−b − √(b² − 4ac)) / (2a) 兩個結果。無論根是實整數、無理數還是複數，此公式均適用——使它成為求解二次方程式最通用的方法。
什麼是判別式？它的正負號代表什麼？
判別式為 Δ = b² − 4ac，即平方根符號內的表達式。若 Δ > 0，有兩個相異實數根，拋物線與 x 軸相交兩次。若 Δ = 0，恰好有一個重實數根——拋物線頂點恰好接觸 x 軸。若 Δ < 0，兩個根為共軛複數，拋物線完全不與 x 軸相交。在計算完成之前，判別式的正負號就能告訴你解的完整性質——這是首先應該檢查的量。
如何逐步解二次方程式？
第一步：整理方程式使一側為零：ax² + bx + c = 0。第二步：辨識 a、b、c 的值。第三步：計算判別式 Δ = b² − 4ac。第四步：若 Δ ≥ 0，代入 x = (−b ± √Δ) / (2a) 求兩個實數根；若 Δ < 0，將 √Δ 改寫為 i√|Δ|，並以 p ± qi 形式表示根，其中 p = −b/(2a)，q = √|Δ|/(2a)。本計算機自動完成每個步驟，並顯示完整計算過程，包含中間的判別式數值與根的表達式。
什麼是複數根（虛數根）？它在幾何上代表什麼意義？
複數根在 Δ < 0 時出現，以共軛對的形式呈現：x = p ± qi，其中 i = √(−1)，p = −b/(2a) 為實部，q = √(|Δ|)/(2a) 為虛部。在幾何上，複數根表示拋物線完全不與 x 軸相交——若 a > 0 則拋物線完全位於 x 軸上方，若 a < 0 則完全位於下方。雖然在實數圖形上看不出來，複數根仍然滿足韋達定理中關於根之和與根之積的公式。
如何求拋物線的頂點？
對於 y = ax² + bx + c，頂點位於 (h, k)，其中 h = −b / (2a)，k = c − b² / (4a)。若 a > 0，頂點為拋物線的最低點；若 a < 0，頂點為最高點。頂點在最佳化問題中至關重要——求最高利潤、最低成本、拋射體的最大高度，或以固定圍籬圍出最大面積，都需要求頂點。本計算機會自動顯示頂點座標。
什麼是拋物線的對稱軸？
對稱軸是通過頂點的垂直線 x = −b / (2a)。拋物線在此線兩側呈完美鏡像。當兩個實數根存在時，它們相對於對稱軸總是對稱分布：每個根與對稱軸的水平距離相同。例如，若兩根為 1 和 5，對稱軸即為 x = 3。這也意味著對稱軸的 x 座標等於兩根的算術平均數。
什麼是韋達定理？如何使用它？
韋達定理指出，對於 ax² + bx + c = 0，兩根之和等於 −b/a，兩根之積等於 c/a。即使是複數根，這些關係式同樣成立。韋達定理可作為快速驗算工具：若計算出的兩根之和不等於 −b/a，表示計算中有算術錯誤。它也能讓你根據已知根建立二次方程式：若要求根為 r₁ 和 r₂，方程式為 a(x − r₁)(x − r₂) = 0，展開後為 ax² − a(r₁+r₂)x + a(r₁r₂) = 0。
可以用因式分解代替公式求解嗎？
可以——當根為小整數時，因式分解更快。例如，x² − 5x + 6 = 0 可因式分解為 (x − 2)(x − 3) = 0，得根 2 和 3。但當根為無理數或複數時，整數因式分解不一定可行。實用策略是：先檢查判別式——若為完全平方數，則根為有理數，因式分解可行；否則使用二次公式，此公式對任何係數均有效。
這比 CalculatorSoup 或 RapidTables 更適合求解二次方程式嗎？
UtiloKit 的二次方程式求解器功能比大多數工具更完整。CalculatorSoup 可顯示逐步計算過程與判別式，但不提供圖形。RapidTables 只有基本計算機，無視覺化輸出。本工具提供完整的逐步解題過程、判別式分析、實數與複數兩種根、頂點座標、對稱軸、y 截距、韋達定理驗算，以及即時 SVG 拋物線圖形——全部隨你輸入即時更新，無需伺服器往返，完全免費使用。
二次方程式有哪些實際應用？
二次方程式可模擬許多物理現象：拋射體運動（h = v₀t − ½gt² 對時間 t 為二次式；令 h = 0 求解 t 可得落地時間）、經濟學（利潤 P = −ax² + bx − c 模擬邊際遞減；頂點給出利潤最大的產量，常見於商管課程）、工程學（梁的撓曲、LC 電路共振）以及面積問題（以固定周長圍籬圍出最大面積）。任何數量先增至峰值再減少——或有最小值——的關係，通常都是二次關係。
當 a = 0 時會怎樣？
當 a = 0 時，方程式從二次退化為一次：bx + c = 0。若 b ≠ 0，唯一解為 x = −c/b。若 b = 0 且 c = 0，方程式 0 = 0 恆成立（無窮多解）。若 b = 0 且 c ≠ 0，方程式 c = 0 產生矛盾（無解）。本計算機能偵測 a = 0 的情況並正確處理，不會產生除以零的錯誤。
此求解器能計算非標準形式的方程式嗎？
求解器需要標準形式 ax² + bx + c = 0。若你的方程式是其他形式——例如 2x² + 3 = 5x——請先整理：將兩側同減 5x，得 2x² − 5x + 3 = 0，再輸入 a=2、b=−5、c=3。常見錯誤是在移項時遺失負號。在讀取 a、b、c 之前，請務必明確寫出整理後的方程式。
此工具可離線使用嗎？我的資料是否私密？
兩者皆可。本計算機完全在瀏覽器中以 JavaScript 執行——不發送伺服器請求，不上傳任何資料，也不需要帳號。頁面載入後即可離線使用。與 Wolfram Alpha 不同（它會將你的方程式傳送至雲端伺服器，且可能記錄查詢），這裡的所有內容都留在你的裝置上。你的係數、方程式和計算結果完全私密，不會外洩。
