Triangle Calculator

至少需要三个已知条件，且其中至少包含一条边长。五种有效组合为：SSS（三条边）、SAS（两边及夹角）、ASA（两角及夹边）、AAS（两角及非夹边）和 SSA（两边及对角，即模糊情况）。仅有三个角（AAA）只能确定形状而无法确定大小，因此在没有至少一条边长的情况下是不够的。

余弦定理表示 c² = a² + b² − 2ab·cos(C)，是勾股定理在任意三角形中的推广。它用于 SSS（从三条边求所有角度）和 SAS（从两边及夹角求第三条边）。对于直角三角形（C = 90°），cos(90°) = 0，公式简化为熟悉的 c² = a² + b²，印证了余弦定理是最普适的三角形公式。

在 SSA 情况下（已知边 a、边 b 和 a 的对角 A），由于 sin(B) = b·sin(A)/a 可能产生两个有效角度 B 和 180° − B，三角形存在歧义。若 sin(B) > 1，则无三角形存在；若 sin(B) = 1，则恰好有一个直角三角形；若 0 < sin(B) < 1，则 B 和 180° − B 均可能形成有效三角形。我们的计算器会检查两种可能，并分别返回所有有效解。

计算器使用 SAS 面积公式：面积 = ½ × a × b × sin(C)，该公式适用于任意已知两边及夹角的三角形。对于 SSS 输入，先通过余弦定理求得一个角度，再应用 SAS 公式。等价的公式是海伦公式：面积 = √(s(s−a)(s−b)(s−c))，其中 s = (a+b+c)/2 为半周长，仅需三条边长，无需角度。

三角形无解的情况包括：(1) 三角不等式不成立——任意两边之和必须严格大于第三边；(2) 对于指定角度的输入，各角之和不等于 180°；(3) 在 SSA 情况下，计算得到的 sin(B) 超过 1；(4) 所有数值输入均为负数或零。计算器会检测所有这些情况并显示解释性错误信息。

按边长分类：等边三角形（三边相等，各角均为 60°）、等腰三角形（两边相等，两角相等）和不等边三角形（三边三角各不相同）。按角度分类：锐角三角形（所有角 < 90°）、直角三角形（一个角 = 90°）和钝角三角形（一个角 > 90°）。计算器会根据解得的值自动识别类型。

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