Triangle Calculator

至少需要三個已知條件，且其中至少包含一條邊長。五種有效組合為：SSS（三條邊）、SAS（兩邊及夾角）、ASA（兩角及夾邊）、AAS（兩角及非夾邊）和 SSA（兩邊及對角，即模糊情況）。僅有三個角（AAA）只能確定形狀而無法確定大小，因此在沒有至少一條邊長的情況下是不足的。

餘弦定理表示 c² = a² + b² − 2ab·cos(C)，是畢氏定理在任意三角形中的推廣。它用於 SSS（從三條邊求所有角度）和 SAS（從兩邊及夾角求第三條邊）。對於直角三角形（C = 90°），cos(90°) = 0，公式簡化為熟悉的 c² = a² + b²，印證了餘弦定理是最普適的三角形公式。

在 SSA 情況下（已知邊 a、邊 b 和 a 的對角 A），由於 sin(B) = b·sin(A)/a 可能產生兩個有效角度 B 和 180° − B，三角形存在歧義。若 sin(B) > 1，則無三角形存在；若 sin(B) = 1，則恰好有一個直角三角形；若 0 < sin(B) < 1，則 B 和 180° − B 均可能形成有效三角形。我們的計算器會檢查兩種可能，並分別回傳所有有效解。

計算器使用 SAS 面積公式：面積 = ½ × a × b × sin(C)，該公式適用於任意已知兩邊及夾角的三角形。對於 SSS 輸入，先透過餘弦定理求得一個角度，再應用 SAS 公式。等價的公式是海龍公式：面積 = √(s(s−a)(s−b)(s−c))，其中 s = (a+b+c)/2 為半周長，僅需三條邊長，無需角度。

三角形無解的情況包括：(1) 三角不等式不成立——任意兩邊之和必須嚴格大於第三邊；(2) 對於指定角度的輸入，各角之和不等於 180°；(3) 在 SSA 情況下，計算得到的 sin(B) 超過 1；(4) 所有數值輸入均為負數或零。計算器會偵測所有這些情況並顯示說明性錯誤訊息。

按邊長分類：等邊三角形（三邊相等，各角均為 60°）、等腰三角形（兩邊相等，兩角相等）和不等邊三角形（三邊三角各不相同）。按角度分類：銳角三角形（所有角 < 90°）、直角三角形（一個角 = 90°）和鈍角三角形（一個角 > 90°）。計算器會根據解得的值自動辨識類型。

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